一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 当x→0时,
是x
7的______
- A.低阶无穷小
- B.等价无穷小
- C.高阶无穷小
- D.同阶但非等价无穷小
A B C D
C
[考点] 本题考查无穷小的比较及求函数极限.
[解析] 因为
,所以
是x
7的高阶无穷小,故答案为C.
2. 函数
在x=0处______
- A.连续且取得极大值
- B.连续且取得极小值
- C.可导且导数为0
- D.可导且导数不为0
A B C D
D
[考点] 本题考查连续与可导的定义及函数极限.
[解析] 因为
,所以f(x)在x=0处连续.因为
),即f(x)在x=0处可导且f'(0)=
.故答案为D.
3. 有一圆柱体,底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s,-3cm/s,当底面半径为10cm,高为5cm时,圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为______
- A.125πcm3/s,40πcm2/s
- B.125πcm3/s,-40πcm2/s
- C.-100πcm3/s,40πcm2/s
- D.-100πcm3/s,-40πcm2/s
A B C D
C
[考点] 本题考查利用导数的意义求变化率及多元复合函数微分法.
[解析] 设圆柱体底面半径为r,高为h,由题意知,
,圆柱体体积V=πr
2h,表面积S=2πrh+2πr
2,则体积随时间的变化率
=(2π×5+4π×10)×2-2π×10×3=40π.故答案为C.
4. 设函数f(x)=ax-bln x(a>0)有两个零点,则
的取值范围是______
A.(e,+∞)
B.(0,e)
C.(0,
)
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查利用函数的单调性讨论零点.
[解析] f(x)=ax-bln x(a>0),则x>0,f'(x)=
,若b≤0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,不可能有两个零点,所以b>0,且
=+∞,
(ax-bln x)=+∞.令f'(x)=
=0,得x=
,当0<x<
时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>
时,f'(x)>0,f(x)单调递增.要使f(x)有两个零点,则f(
)<0,即
1
>e,故答案为A.
5. 设函数f(x)=sec x在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx
2,则______
A.a=1,b=
B.a=1,b=
C.a=0,b=
D.a=0,b=
A B C D
D
[考点] 本题考查泰勒展开式.
[解析] f(0)=1,f'(0)=(sec x)'|
x=0=sec x·tan x|
x=0=0,f"(0)=(sec x·tan x)'|
x=0=(sec x·tan x·tan x+sec x·sec
2x)|
x=0=1.所以f(x)=sec x在x=0处的二次泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+
x
2+o(x
2)=1+
x
2+o(x
2),故a=0,b=
,答案为D.
6. 设函数f(x,y)可微,且f(x+1,e
x)=x(x+1)
2,f(x,x
2)=2x
2ln x,则df(1,1)=______
A B C D
C
[考点] 本题考查多元复合函数微分法.
[解析] 两边对x同时求导,得f'1(x+1,ex)+f'2(x+1,ex)·ex=(x+1)2+2x(x+1),(1);f'1(x,x2)+f'2(x,x2)·2x=4xln x+2x,(2);将x=0代入(1)式,得f'1(1,1)+f'2(1,1)=1,(3);将x=1代入(2)式,得f'1(1,1)+2f'2(1,1)=2,(4);联立(3)(4),解得,f'1(1,1)=0,f'2(1,1)=1,所以df(1,1)=f'1(1,1)dx+f'2(1,1)dy=dy.故答案为C.
7. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,则
f(x)dx=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题考查定积分的定义.
[解析] f(x)在区间[0,1]上连续,故f(x)在区间[0,1]上可积.将区间[0,1]进行n等分,则每个小区间的长度为
,取第k个小区间中点处的函数值,即
,k=1,2,…,n.由定积分的定义,得
.故答案为B.
8. 二次型f(x
1,x
2,x
3)=(x
1+x
2)
2+(x
2+x
3)
2-(x
3-x
1)
2的正惯性指数与负惯性指数依次为______
A B C D
B
[考点] 本题考查求矩阵的特征值及二次型的正负惯性指数.
[解析] 二次型f(x
1,x
2,x
3)=(x
1+x
2)
2+(x
2+x
3)
2-(x
3-x
1)
2=
+2x
1x
2+2x
2x
3+2x
3x
1,对应的二次型矩阵
(λ+1)λ(λ-3).所以A的特征值为-1,0,3,正惯性指数与负惯性指数依次为1,1.故答案为B.
9. 设3阶矩阵A=(α
1,α
2,α
3),B=(β
1,β
2,β
3).若向量组α
1,α
2,α
3可以由向量组β
1,β
2线性表出,则______
- A.Ax=0的解均为Bx=0的解
- B.ATx=0的解均为BTx=0的解
- C.Bx=0的解均为Ax=0的解
- D.BTx=0的解均为ATx=0的解
A B C D
D
[考点] 本题考查向量组的线性表出问题.
[解析] 因为向量组α
1,α
2,α
3可以由向量组β
1,β
2线性表出,即其可以由向量组β
1,β
2,β
3线性表出,则存在矩阵C,使得(α
1,α
2,α
3)=(β
1,β
2,β
3)C,即A=BC
A
T=C
TB
T.若B
Tx
0=0,则C
TB
Tx
0=0,即A
Tx
0=0,也即是B
Tx=0的解均为A
Tx=0的解,故答案为D.
10. 已知矩阵
,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使得PAQ为对角矩阵,则P,Q可以分别取
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查矩阵的运算.
[解析] 将A、B、C、D四个选项分别代入验证:
A项,PAQ=
B项,PAQ=
C项,PAQ=
D项,PAQ=
故答案为C.
二、填空题1.
=______.
[考点] 本题考查利用奇偶性计算定积分及反常种分.
[解析]
2. 设函数y=y(x)由参数方程
确定,则
=______.
[考点] 本题考查参数方程求二阶导数.
[解析]
3. 设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan(2xy)=1确定,则
=______.
1
[考点] 本题考查隐函数求偏导数.
[解析] (方法一)把x=0,y=2代入原方程,得z=1,令F(x,y,z)=(x+1)z+yln z-
(方法二)把x=0,y=2代入原方程,得z=1,方程两边对x同时求导,得z+(x+1)
+y·
=0,把x=0,y=2,z=1代入上式,得
=1.
4. 已知函数f(t)=
,则
=______.
5. 微分方程y'''-y=0的通解为y=______.
(C
1,C
2,C
3为任意常数)
[考点] 本题考查高阶常系数齐次线性微分方程的求解.
[解析] 特征方程为λ
3-1=0
(λ-1)(λ
2+λ+1)=0,解得特征根为λ
1=1,λ
2,3=
,所以通解为
(C
1,C
2,C
3为任意常数).
6. 多项式
中x
3项的系数为______.
-5
[考点] 本题考查行列式的计算.
[解析] (方法一)f(x)=
=
=
所以x
3系数为-5.
(方法二)f(x)=
等式右边第一部分不含x
3,第二部分中x
3的系数为-1,第三部分中不含x
3,第四部分中x
3的系数为-4,所以f(x)中含x
3项的系数为-5.
三、解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1. 求极限
.
2. 已知函数
,求曲线y=f(x)的凹凸区间及渐近线.
解:f(x)的定义域为x≠-1.
当x>0时,f(x)=
所以y=f(x)在(0,+∞)上是凹的;
当x<0且x≠-1时,
当-1<x<0时,f"(x)<0,所以y=f(x)在(-1,0)上是凸的,
当x<-1时,f"(x)>0,所以y=f(x)在(-∞,-1)上是凹的;
综上可知f(x)的凹区间为(-∞,-1),(0,+∞),凸区间为(-1,0).
因为
,所以x=-1为曲线y=f(x)的垂直渐近线;
,所以曲线y=f(x)无水平渐近线;
所以y=x-1为曲线y=f(x)的斜渐近线;
所以y=-x+1为曲线y=f(x)的斜渐近线;
综上可知,曲线y=f(x)有一条垂直渐近线x=-1,两条斜渐近线y=x-1与y=-x+1.
3. 设函数f(x)满足
,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),记L的弧长为S,L绕x轴旋转一周所成旋转曲面面积为A,求S和A.
4. 设y=y(x)(x>0)是微分方程xy'-6y=-6满足条件y(
)=10的解.
(1)求y(x);
(2)设P为曲线y=y(x)上的一点,记曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为,I
P,当I
P最小时,求点P的坐标.
解:(1)原方程整理,得
,则
P(x)=-
,Q(x)=-
,
所以,通解y=e
-∫P(x)dx[∫Q(x)e
∫P(x)dx+C]
=1+Cx
6,
又因为y(
)=10,得10=1+C(
)
6,
解得C=
,
所以y(x)=1+
x
6(x>0);
(2)P为曲线y=y(x)上一点,设P点坐标为(x,1+
).
又因为)y'=(1+
)'=2x
5,则P点处的法线方程为
令X=0,得法线在Y轴上的截距
,
令
,得驻点x=1,
当0<x<1时,
<0,当x>1时,
>0,
则x=1为极小值点,也是最小值点,此时P点坐标为(1,
).
5. 设平面区域D由曲线(x
2+y
2)
2=x
2-y
2(x≥0,y≥0)与x轴围成,计算二重积分
.
解:(x
2+y
2)
2=x
2-y
2是伯努利双纽线,积分区域是伯努利双纽线在第一象限的部分,如下图.
在极坐标系下计算二重积分.
令
x≥0,y≥0,则0≤θ≤
,
代入曲线方程,得r
2=cos
2θ-sin
2θ=cos
2θ≥0,则0≤θ≤
,故积分区域在极坐标系下的表达式为
所以
6. 设矩阵
仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P
-1AP为对角矩阵.
解:
,
因为A有两个不同的特征值,则b=1或b=3,
(1)当b=1时,即λ
1=λ
2=1,λ
3=3,
因为A相似于对角阵,所以二重特征值λ
1=λ
2=1一定对应有两个线性无关的特征向量,
λ
1=λ
2=1时,λ
1E-A=E-A=
,r(E-A)=1,得a=1,
对应的特征向量
λ
3=3时,λ
3E-A=3E-A=
对应的特征向量α
3=
故P=(α
1,α
2,α
3)=
(2)当b=3时,即λ
1=λ
2=3,λ
3=1,
λ
1=λ
2=3时,λ
1E-A=3E-A=
,r(3E-A)=1,得a=-1,
对应的特征向量
λ
3=1时,λ
3E-A=E-A=
对应的特征向量
故P=(β
1,β
2,β
3)=