一、逻辑推理题下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,只有一项符合试题要求。 二、数学单项选择题1. 如果f'(e
x)=xe
-x,且f(1)=0,则f(x)=______
A.2(lnx)
2 B.(lnx)
2 C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据已知,令e
x=t:x=lnt,则
,因此
已知f(1)=0,可得C=0,即
。
5. 设z=z(x,y)是由方程3cos(2x+3y-z)=2x+3y-z确定的隐函数,则
=______
A B C D
A
[解析] 在已知等式两端分别对x和y求偏导可得
,解得
;
,解得
。
可得
。
6. 设f(x,y)=3x+xy
2+xlnx,则点(e
-4,0)______
- A.是f(x,y)的驻点,也是f(x,y)的极大值点
- B.是f(x,y)的驻点,也是f(x,y)的极小值点
- C.不是f(x,y)的驻点,是f(x,y)的极值点
- D.不是f(x,y)的驻点,也不是f(x,y)的极值点
A B C D
B
[解析] 根据已知f(x,y)=3x+xy
2+xlnx,求一阶偏导并令其等于零可得
根据函数的定义域可知x≠0,因此y=0,代入第一个式子可得x=e
-4。
继续对函数求二阶偏导
,将点(e
-4,0)代入
因此点(e
-4,0)是f(x,y)的驻点,也是f(x,y)的极小值点。
8. 设A,B,C是随机事件,A,B互不相容,
,则P(AC)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 根据已知
可得
,而
,由于A,B互不相容,即P(ABC)=0,
因此
。
9. 设A为2阶方阵,A
*为A的伴随矩阵,|A|=2,|A-(2A
*)
-1|=______
A.
B.
C.
D.2
A B C D
B
[解析] 已知|A|=2,又
所以
10. 已知向量组α
1=(1,-1,2),α
2=(2,a,0),α
3=(a,2,1)线性相关,则a=______
A.1
B.
C.1或3
D.
A B C D
D
[解析] 向量组线性相关,则由它们组成的矩阵不满秩,或者对应矩阵的行列式值等于零。
方法一:对向量组组成的矩阵作初等行变换,则
当a=-2时,显然矩阵不满秩,向量组线性相关。当a≠-2时,则
矩阵不满秩,因此
。
方法二:向量组成的矩阵对应的行列式值等于零,则有
解得a=-2或
。
三、数学计算题1. 已知函数的两个偏导数
,求函数f(x,y)的表达式。
解:根据
,两边积分可得
因此
故g'(y)=3y
2-1,g(y)=y
3-y+C,所以
f(x,y)=x
3+2x
2y-xy
2+x+y
3-y+C。
2. 求极限
。
解:根据等价无穷小替换x→0,e
x-1~x以及洛必达法则可得
3. 证明:当x>0时,不等式
。
解:对不等式作变形,证明
,即
。
设函数
则
因此可得函数f(x)单调增加,且f(0)=0,因此当x>0时,
即
4. 设
,计算定积分
。
解:
,即可知f(x)=x
2-2。
代入定积分中可得
5. 已知
在区间[a,2]上的最小值为
,求a的值。
解:f'(x)=3x+3,令f'(x)=0可得x=-1。当a≤-1时,最小值为
不合题意,所以a>-1。当-1<a<2时,最小值为
解方程得a=1,a=-3(舍去)。
6. 设函数f(x)在[0,+∞)上可导,且
,求函数的单调区间和极值。
解:对已知函数求导
f'(x)=(-x
2+3x-2)2x=-2x(x-1)(x-2),
令f'(x)=0可得x=0,1,2。
x∈[0,1)或x∈[2,+∞)时,f'(x)<0,函数在两个区间上分别单调递减;x∈[1,2)时,f'(x)>0,函数单调递增。
因此在x=1时取极小值,极小值为f(1)=0;在x=2时取极大值,极大值为
7. 设X的密度函数为
求X的分布函数F(x)。
解:根据分布函数的定义
。
当x<0时,F(x)=0;当0≤x<1时,
;当1≤x<2时,
当x≥2时,F(x)=1。因此X的分布函数为
8. 设随机变量X服从参数为2的指数分布,求2X+e
-X的数学期望。
解:随机变量X的概率密度为
则根据连续型随机变量函数的数学期望计算公式,有
9. 设矩阵A和B均为n阶矩阵,且满足A
3-E=B-A
2+2A=E,求B
-1。
解:根据B-A
2+2A=E可得B=A
2-2A+E=(A-E)
2,因此
B
-1=[(A-E)
2]
-1=[(A-E)
-1]
2,
再根据
,
可得(A-E)
-1=A
2+A+E,因此B
-1=(A
2+A+E)
2。
10. 已知方程组
,当a,b为何值时,该方程组无解、有唯一解、有无穷多解,并求出有无穷多解时的通解。
解:对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下
当a=1,b≠-1时,方程组无解;
当a≠-1时,方程组有唯一解;
当a=1,b=-1时,方程组有无穷多解,且此时矩阵可进一步化为
可得通解为(-1,1,0,0)
T+k
1(1,-2,0,1)
T+k
2(1,-2,1,0)
T,k
1,k
2∈R。
四、写作题1. 论证有效性分析:分析下述论证中存在的缺陷和漏洞,选择若干要点,写一篇600字左右的文章,对该论证的有效性进行分析和评论。(论证有效性分析的一般要点是:概念特别是核心概念的界定和使用是否准确并前后一致,有无各种明显的逻辑错误,论证的论据是否成立并支持结论,结论成立的条件是否充分,等等。)
疫情期间,各学校纷纷组织学生们上网课,力求做到“停学不停课”。这一举措让学生和家长们感到安心,但也有人担心网课是否真的有用。其实,这种新兴授课模式优点众多,完全无需担心。
相比课堂学习,网课让学生们和老师们比平时少了些紧张和约束。老师把要讲的内容提前做好课件共享给大家,直播课还可以看回放,学生可以根据自身情况随时学习。一些学生在校上课时会因为溜号、和同学打闹等问题被老师批评,从而对学习产生厌烦心理。在家上网课环境氛围更加轻松,这些学生会更加专心学习。
有些家长担心上网课增加了孩子的上网时间,会导致他们更加依赖网络。其实这种担心是多余的,因为物极必反,网课增加了学生们的上网时间,反而会使他们对网络感到疲劳,并戒掉网瘾,让他们在学习之余寻找其他的休闲娱乐方式。
网课更像是一个“无形之手”,默默推动大家紧跟时代潮流大步向前。许多家长、老师对网络设备、网络环境并不熟悉,通过这次网课的普及,他们不得不添置新设备,学习网络知识,这对他们来说是有利无害的。
后疫情时代下,线上办公、学习的热潮才刚刚开始。可以断言的是,网课模式将会持续开展下去。网课模式对缓解交通拥堵、节省学校和家庭不必要的开支以及提高学习效率都有着极大的帮助。
[范文] 网课模式真的有利无害吗
题干材料通过论述网课氛围更轻松、网课有助于帮助学生戒掉网瘾以及促使老师、家长学习网课操作新知识等,得出网课模式有利无害的结论。然而,其论证的过程是值得商榷的。
首先,由学生在课堂易溜号、打闹被老师批评而对学习产生厌烦心理,推出在家上网课环境氛围更轻松自在,可以使学生更专心学习是不恰当的。在被老师批评之前,这些学生的行为就足以说明他们对学习不够专注。若少了老师的监督,缺乏自制力的学生可能会更加放纵自己沉迷玩乐。
其次,文中由“物极必反”推断上网课使学生们的上网时间有所增加,从而可以帮助他们戒掉网瘾,这是不合理的。网瘾的形成正是由于上网者长时间地和习惯性地沉浸在网络里,因此,网课虽然增加了学生们的上网时间,但并不会让他们戒掉网瘾,反而可能会使他们更加沉迷上网。用“物极必反”论证上网规律是解释不通的。
再次,论证者认为网课促使老师、家长添置新设备,学习网络新知识,这对他们来说是有利无害的,这种说法过于绝对。上网课使老师们不得不添置新设备,这无疑增加了老师们的支出。且学习上网课的操作可能对一些家长来说并不是必须掌握的网络知识,显然这一论述是不准确的。
最后,论证者断定网课模式能够缓解交通拥堵、节省学校和家庭的不必要开支等,这一论证过于绝对。单凭学生减少了出行,并不能说对缓解交通拥堵有着极大的帮助。并且有些学生的家庭经济条件可能并不是很富裕,上网课需要购买设备反而为这些家庭带来了负担。
综上所述,仅凭网课的一些优点就断言网课有利无害,值得大力推广,这是有待商榷的。
[解析] 本题题干论证中存在以下逻辑漏洞,供参考:
(1)文中提到“一些学生在校上课时会因为溜号、和同学打闹等问题被老师批评,从而对学习产生厌烦心理。在家上网课环境氛围更加轻松,这些学生会更加专心学习”,这犯了假设不当的错误。在被老师批评之前,这些学生的行为就足以说明他们对学习不够专注。因此,若少了老师的监督,他们只会更加放纵自己沉迷玩乐。这一论述并不恰当。
(2)论证者认为“物极必反,网课增加了学生们的上网时间,反而会使他们对网络感到疲劳,并戒掉网瘾,让他们在学习之余寻找其他的休闲娱乐方式”,实则不然。网课虽然增加了学生们的上网时间,但并不会让他们戒掉网瘾,反而可能会使他们更加沉迷上网。
(3)文中提到“许多家长、老师对网络设备、网络环境并不熟悉,通过这次网课的普及,他们不得不添置新设备,学习网络知识,这对他们来说是有利无害的”,这种说法过于绝对。
(4)文章最后提到“网课模式对缓解交通拥堵、节省学校和家庭不必要的开支以及提高学习效率都有着极大的帮助”,这一论证有待商榷。
文章整体分析到位,能够抓住题干材料论证的主要缺陷,并能够对相关论证进行深入的分析。本文语言表达流畅,结构清晰,是一篇较好的论证有效性分析。
2. 论说文:根据下述材料,写一篇700字左右的论说文,题目自拟。
人们曾讽刺对外界了解很少的人为“井底之蛙”;而今,人们又发现自己似乎“知道的太多”。
[范文] 专注是一种力量
在这个物欲横流的时代,我们总是迫不及待地去追逐成功和名利,渐渐缺少了专注的精神。专注是一种力量,花长时间把一件事做到极致,远胜于把一万件事做得平淡无奇。
对个人而言,专注助力个人发展。在这样一个追求速度的时代,专注似乎成了一件非常奢侈的事,长时间发展一项事业似乎与年轻人的理想格格不入。那么,只专注于一件事真的不可能带来自我的成长与发展吗?答案显然是否定的。拿带货一哥李佳琦来说,他专注于带货,不仅帮助品牌方带动产品销售,还屡屡刷新自己的销售记录,提升自己的价值。这样的他或她,在我们的日常生活中还有很多,专注于自己所热爱的事业并不断地提升自我。这正是告诉我们:专注能助力发展。
对行业而言,专注助力行业发展。专注是难能可贵的优秀品质,虽说它不能百分之百让人成功,但可以让人朝着更好的方向发展。2018年的LOL夺冠,让电竞逐渐步入大众的视野。可能在很多人看来,电竞选手的成功是因为他们有着过人的天赋。其实不然,电竞作为一种体育项目,更需要的是选手们日复一日地专注练习。若没有专注地努力,踏踏实实做好手头上要做的事,又怎能一蹴而就呢?选手们以自己专注的精神,让人们逐渐认识了电竞,而不是对此怀有偏见,让我国的电竞事业开始有所发展。
对国家而言,专注助力国家进步。旧中国时期,国家千疮百孔,而在中华人民共和国成立后的短短几十年,我们的国家又变得繁荣昌盛。究其原因,是因为这群专注地建设新中国的人们。他们不分昼夜地努力着,用自己的勤奋和专注,造出了神舟飞船、航空母舰等各项科技成果。祖国正是因为有这么一批专注于自己事业的人们,才会不断向前发展。
专注是一种力量,让我们创造出价值。当我们专注做一件事时,定能取得进步。
[解析] 本文开篇点题,提出“专注是一种力量”,观点明确。接下来的三段是本文的主体部分,分别论述了追求对个人、行业、国家的作用。此部分结构严谨,语言流畅,条理清晰。最后一段再次扣题,说明了“专注是一种力量”。本篇范文脉络清晰,观点明确,可供考生参考。