一、单项选择题1. 某厂有两个车间,1984年甲车间工人平均工资为120元,乙车间为130元;1985年,甲车间工人在全厂工人中的比重提高,乙车间的比重下降。在两车间工人平均工资没有变化的情况下,1985年全厂总平均工资比1984年全场总平均工资______。
A B C D
B
[解析] 假设甲、乙两车间在1984年人数分别为
,
,在1985年人数分别为
,
。则1984年全厂总平均工资
为:
1985年全厂总平均工资
为:
所以
又因为
,故
总平均工资减少。
13. 若假设形式为H
0:μ≥μ
0,H
1:μ<μ
0,当随机抽取一个样本,其均值大于
,则______。
- A.肯定不拒绝原假设,但有可能犯第一类错误
- B.有可能不拒绝原假设,但有可能犯第一类错误
- C.有可能不拒绝原假设,但有可能犯第二类错误
- D.肯定不拒绝原假设,但有可能犯第二类错误
A B C D
C
[解析] 若原假设正确时,做出拒绝原假设的决策,则称为犯第一类错误;若原假设错误时,做出接受原假设的决策,则称为犯第二类错误。题目中,随机抽取的样本落在接受域中,则有接受原假设的可能,同时也就存在着犯第二类错误的可能。
19. 设随机变量x的密度函数为f(x),如果______,则恒有0≤f(x)≤1。
- A.x~N(0,1)
- B.X~N(0,σ2)
- C.X~N(-1,σ2)
- D.X~N(μ,σ2)
A B C D
A
[解析] 正态分布的密度函数为:
当
时,
取得最大值,为
故当
时,恒有f(x)≤1,故A项正确。
21. 离散型随机变量X的概率分布为P(X=k)=Aλ
k(k=1,2,…)的充要条件是______。
- A.λ=(1+A)-1且A>0
- B.A=1-λ且0<λ<1
- C.A=λ-1-1且λ<1
- D.A>0且0<λ<1
A B C D
D
[解析] 由题意,随机变量X的概率分布应满足对于任意的k,0≤P{X=k}≤1。由概率密度函数的性质知
由幂级数的收敛域可知:当
时级数
收敛,又由密度的非负性得
,
故A>0,D项正确。
26. A、B为两个随机事件,且
,
,
则必有______。
- A.
- B.P(A|B)=P(B)
- C.P(B|A)=P(B)
- D.上述结论都不成立
A B C D
C
[解析] 由题意,
即
所以
即A和B独立,所以正确答案为C项。
二、简答题(每小题10分,共40分)1. 统计描述法和统计推断法的区别和联系是什么?
统计描述法和统计推断法的区别和联系是:
(1)区别:描述统计研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。主要包括数据的频数分析、集中趋势分析、离散程度分析、数据的分布及一些基本的统计图形。而推断统计研究的是如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。该方法是以概率形式来决断数据之间是否存在某种关系,包括总体参数估计和假设检验。
(2)联系:描述统计和推断统计二者彼此联系,相辅相成,描述统计是推断统计的基础,推断统计是描述统计的升华。
具体研究中,是采用描述统计还是推断统计,应视具体的研究目的而定,如研究的目的是要描述数据的特征,则需描述统计;若还需对多组数据进行比较或需以样本信息来推断总体的情况,则需用推断统计。
2. 相关分析与回归分析的关系是什么?
回归分析是确定两种及两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法;相关分析是研究随机变量之间相关关系的一种统计学方法。两者既有联系又有区别。
(1)联系:回归分析和相关分析研究的都是变量之间的相互依赖关系,在理论基础和方法上具有一致性。只有存在相关关系的变量才能进行回归分析,相关程度越高,回归分析的结果越可靠。回归分析和相关分析是现代统计学中关于统计关系研究的两个重要分支
(2)区别:
①回归分析中必须有一个变量是因变量,处于被解释的特殊地位;相关分析中没有此要求,变量处于平等的地位;
②回归分析中因变量是随机变量,自变量可以是随机变量也可以是非随机变量,通常假定自变量是非随机的;相关分析中涉及到的变量均为随机变量;
③相关分析主要测定的是变量之间关系的密切程度和方向。回归分析则着重于变量之间的具体变动关系,通过建立回归模型,控制或给定自变量对因变量进行估计和预测。
3. 假设检验中,原假设与备择假设地位是否相同?
在假设检验中,原假设H。是接受检验的假设,备择假设H1是当原假设被否定时另一种可能成立的假设。原假设和备择假设是相互对立的,在任何情况下只能有一个成立。如果接受H0。就必须拒绝H1;如果拒绝H0就必须接受H1。原假设是建立在假定原来总体没有发生变化的基础之上的,也就是总体参数没有显著变化。备选假设是原假设的对立,是在否认原假设之后所要接受的内容,通常这是我们真正感兴趣的一个判断。从数学形式上来看,二者地位相等,但在实际应用中,由于只有理由充分时才会拒绝原假设,故原假设通常处于被保护的地位。
4. 随机变量X与Y相互独立,它们的函数f(X)与g(Y)是否独立?反过来,若对某函数f和g,f(X)与g(Y),X与Y是否独立?
(1)设随机变量X、Y的分布函数分别为
,
其联合分布函数为
,因X、Y相互独立,则
设f(X)与g(Y)的分布函数分别为
,其联合分布函数为
,则
故可得它们的函数f(X)与g(Y)相互独立。
(2)同(1)可知若对某函数f和g,f(X)与g(Y)相互独立,则X与Y相互独立。
随机变量x与y相互独立,它们的函数f(X)与g(Y)不一定独立,只有当f,g是borel可测函数的时候,g(X)与g(Y)仍然独立.。
若对某函数f和g,f(X)与g(Y),X与Y也不一定独立。
三、计算与分析题(本题共50分)假设某种产品来自甲、乙两个厂家,为考查产品性能的差异,现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品,测其性能指标X得到两组数据,经对其作相应运算得
假设测定结果服从正态分布
1. 在显著性水平α=0.10下,能否认为
?
由题意,此为两总体的方差检验,建立原假设
备择假设
于是,构造检验统计量:
而检验水平
所以两个临界点分别为0.268和3.50,样本统计量F值为0.75,故不能拒绝原假设,可以认为
。
2. 求μ
1-μ
2的置信度为90%的置信区间,并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。
本题中,在
,
未知且n较小的情况下,进行两个总体均值之差的检验需要使用t统计量。虽然两个总体方差未知,但知道有
。故有:
μ
1-μ
2的置信度为
的置信区间为:
故μ
1-μ
2的置信度为90%的置信区间为:[-0.054,-0.042]。
综上,在显著性水平为0.1的假设下,可以认为甲乙两厂生产产品的性能指标方差无显著差异,均值也没有显著差异,故认为两者性能指标没有显著差异。
测得某种物质在不同温度下吸附另一种物质的重量如下表所示:
设吸附量y与温度x之间具有线性关系:
并算得
3. 求线性回归方程
;
应用最小二乘法可以得到参数的
的表达式分别为:
所以,代入数据得
所以,回归方程为:
4. 对回归效果的显著性进行检验(显著性水平α=0.05);
由题意,回归效果的显著性检验是回归系数的显著性检验。
①建立假设:
②计算检验统计量t:
而对应的t
0.025(7)=2.3646,可知
,拒绝原假设,认为
,回归效果显著。
5. 求温度为4℃时,吸附物质重量的置信度为95%的置信区间。
对于给定的x
0,y的一个个别值y
0在1-α置信水平下的预测区间可表示为:
代入数据得,温度为4℃时,吸附物质重量的置信度为95%的置信区间为:[9.45,14.51]。
6. 自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子,每盒装12只,已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量,从盒中任取一球发现是白球,求此盒中装的全是白球的概率。
记“取出一球为白球”为事件A,“盒子中有t个白球”为事件
,t=0,1,2,…,12。
由题意,
由全概率公式,
再由贝叶斯公式
所以此盒中装的全是白色球的概率为
。
参考数据:
F
0.05(7,8)=3.50,F
0.05(8,9)=3.23,F
0.05(8,7)=3.73,F
0.05(9,8)=3.39,t
0.05(15)=1.7531,t
0.025(7)=2.3646,t
0.05(7)=1.8946,μ
0.025=1.96,μ
0.05=1.65