—、单项选择题4. 设总体ξ~N(μ,σ)其中σ已知,则总体均值μ的置信区间长度L与置信度1-α的关系是______。
- A.当1-α缩小时,L缩短
- B.当1-α缩小时,L增大
- C.当1-α缩小时,L不变
- D.以上说法都不对
A B C D
A
[解析] 单个正态总体均值的1-α置信区间是
区间长度
,其中
为标准正态分布的
上分位数。因此,当1-α缩小时,α增大,
减小,L减小。
28. 设ξ服从二项分布b(n,p),若(n+1)p不是整数,则k取______时P(ξ=k)最大。
- A.(n+1)p
- B.(n+1)p-1
- C.np
- D.[(n+1)p]
A B C D
D
[解析] 由二项分布的性质,
解
得到,
,由于
不是整数,所以k取
时
最大。
二、简答题(每小题10分,共40分)1. 简述抽样估计的优良判别标准。
衡量抽样估计量优良性的评选标准主要有无偏性、有效性和一致性。
(1)无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。设总体参数为θ,所选择的估计量为
,如果
,则称
为θ的无偏估计量。
(2)有效性是指对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小标准差的估计量更有效。
(3)一致性是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
2. 解释假设检验显著性水平,并说明参数假设检验与区间估计之间的关系。
(1)假设检验显著性水平的含义如下:
显著性水平是一个统计专有名词,在假设检验中,它的含义是当原假设正确时却被拒绝的概率或风险,即假设检验中犯弃真错误的概率。
(2)参数估计和假设检验的关系如下:
参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分,它们都是利用样本对总体进行某种推断,然而推断的角度不同。参数估计讨论的是用样本统计量估计总体参数的方法,总体参数μ在估计前是未知的;而在假设检验中,则是先对μ的值提出一个假设,然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。
3. 为提高抽样调查质量,在设计提问项目时,需注意哪几点?
为提高抽样调查质量,设计提问项目时应注意:
(1)提问项目应该客观,不要带有主观因素和意图;
(2)在满足抽样的随机性前提下,提问项目应面向调查全体,不能具有倾向性;
(3)提问项目应清晰、直接、易懂,尽量减小回答误差。
4. 简述二项分布、泊松分布和二项分布之间的关系。
(1)二项分布的含义如下:
以X表示n次重复独立试验中事件A(成功)出现的次数,可以得到:
正好是二项式
的展开式中的第x+1项,故称随机变量X服从二项分布,参数为n,P,并记作X~B(n,p)。
(2)二项分布和泊松分布的关系如下:
泊松分布的概率函数为
泊松分布适用于描述单位时间内随机事件发生的次数,参数
是单位时间内随机事件的平均发生率。当n很大,p很小时,二项分布近似于泊松分布,此时,泊松分布的参数
。
三、计算与分析题(本大题共50分)1. 提示:部分单侧上α分位点如下:
,
,
;
,
,
;
,
,
,
。
为检测新工艺对灯泡寿命的影响,分别抽取3个和5个灯泡,测得其寿命记为x
1,x
2,x
3和y
1,y
2,…y
5,计算得
,
;
,
。
假设灯泡寿命服从正态分布,给定显著性水平α=0.05,新工艺和旧工艺对灯泡寿命的方差有无显著差异?
此问题为两正态总体方差之比的假设检验,采用F检验统计量过程如下:
建立假设:
构造检验统计量:
,此时F统计量的两个自由度分别为:分子自由度n
1-1=2,分母自由度n
2-1=4。其中
由题意
,
,
,
。
代入上式计算得
,
。
计算F检验统计量得到:
不能拒绝原假设,即认为新工艺和旧工艺对灯泡寿命的方差没有显著影响。
在金属铜的传导率试验中,测得不同的温度X(℃)下5每米金属铜的传导率Y的数据如表所示:
应用线性模型:y=β0+β1x+ε,ε~N(0,σ),2. 求β
0,β
1的最小二乘法估计;
根据最小二乘原理,使
最小,其中,
对
分别关于
和
求偏导,并令其等于0,便可求出
和
如下:
即为
和
的最小二乘估计量。
由题意,
,
,代入数据可得到:
即为
和
的最小二乘估计值。
3. 求β
1的置信水平为0.95的区间估计;
,
从而有
统计量
因而
等价于
即得
的置信度为
的置信区间为
其中,
代入数据计算得:
,
的置信度为95%的置信区间为
。
4. 检验回归效果是否显著。
回归效果的显著性检验即为线性关系的检验,采用F统计量。
检验过程如下:
提出假设:H
0:β
1=0,即两个变量之间的线性关系不显著;H
1:β
1不为0,即两个变量之间的线性关系不显著;
构造检验统计量:
其中,
SSR=32.562,SSE=1.266代入数据计算可得:F=51.441远大于1,所以拒绝原假设,认为回归效果显著。
5. 已知具有某种症状的患者为癌患者的概率为0.05,在有该症状的患者中,癌患者经仪器检查为阳性反应的概率为0.85;在该症状的患者中;非癌患者经仪器检查为阳性反应的概率为0.05。现有一患者具有该症状且经仪器检查为阳性反应,求该患者为癌症患者的概率。