一、单项选择题4. 假设X
1,…,X
n为从正态总体_N(μ,σ
2)中抽取的简单随机样本,其中μ,σ
2均未知,记样本均值和样本方差分别为
和S
2,则
的分布为______。
- A.自由度是n-1的f分布
- B.自由度是n的t分布
- C.自由度是1,n的F分布
- D.自由度是1,n-1的F分布
A B C D
D
[解析] 令
则
且P,Y独立,则
即服从自由度
的
分布。
其中
,得到
即服从自由度为1,n-1的
分布。
5. 假设X
1,…,X
n为从正态总体N(μ,1)中抽取的简单随机样本,其中μ未知,如果要求μ的95%置信区间的长度不超过0.6,则样本量n至少需要等于______。
A B C D
B
[解析] 因为总体方差
已知,故采用
统计量。要求μ的95%置信区间的长度不超过0.6,即
解得
,所以样本量n至少需要等于43。
9. 设X为连续型随机变量,g为一连续函数,则g(X)也为连续型随机变量。该说法______。
A.正确
B.错误
A B
B
[解析] 定理:设随机变量
具有概率密度
,
,又设函数
处处可导且恒有
则
是连续型随机变量。
由于函数
在点
处可导,则函数在该点必连续,但是一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。由此可知连续性随机变量X的函数
不一定是连续型的随机变量。
10. 设X,Y和Z都是均值为0,方差为1的随机变量,若X和Y的相关系数为0,Y和Z的相关系数为1,则X和Z的相关系数为______。
A B C D
A
[解析] X和Y的相关系数为0,
得
,Y和Z的相关系数为1,则存在常数
,
,使得
,得
二、简答题(每题8分,共40分)1. 试写出概率的公理化定义。
设
是随机实验,
是它的样本空间。对于
的每一事件
赋予一个实数,记为
,称为事件
的概率,如果集合函数
满足下列条件:
①非负性:对于每一个事件
,有
;
②规范性:对于必然事件
,有
;
③可列可加性:设
,
,
是两两互不相容的事件,即对于
有
2. 试解释随机变量的联合分布和边际分布之间的关系。
①联合分布可以惟一地确定边际分布;
②边际分布不能惟一确定联合分布;
联合分布:
设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数:
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
边际分布:
如果在二维随机变量
的联合分布函数F(x,y)中令
,由于
为必然事件,故可得
此分布函数称为X的边际分布,记为
。
类似地,在F(x,y)中令
,可得Y的边际分布为
。
3. “正态随机变量的线性组合仍服从正态分布”这种说法是否正确?为什么?
“正态随机变量的线性组合仍服从正态分布”这种说法不正确。
利用连续型随机变量的卷积公式可以得到:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,只有独立的正态随机变量才服从正态分布。若随机变量不相互独立,其线性组合不一定服从正态分布。
即,若
且它们相互独立,则对任意不全为零的常数a
1,a
2,L,a
n,有
4. 试指出置信区间和假设检验之间的等价性。
置信区间是指由样本统计量和显著性水平所构造的总体参数的估计区间。在统计学中,一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度。置信区间给出的是被测量参数的测量值的可信程度,即前面所要求的“一定概率”。这个概率被称为置信水平。
假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。具体作法是:根据问题的需要对所研究的总体作某种假设,记作
;选取合适的统计量,这个统计量的选取要使得在假设
成立时,其分布为已知;由实际样本,计算出统计量的值,并根据预先给定的显著性水平进行检验,作出拒绝或接受假设
的判断。
对同一问题的参数判断检验时,二者使用同一样本、同一统计量、同一分布,因而两者可以相互转换。区间估计问题可以转换成假设检验问题,假设检验问题也可以转换成区间估计问题。区间估计中的置信区间是假设检验中的接受域,置信区间以外的区域就是假设检验中的拒绝域。
5. 试比较矩估计方法和极大似然估计方法的特点。
①矩估计方法:
用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,具体做法:
令
这是一个包含
个未知参数
的方程组,解其中的
。用方程组的解
分别作为
的估计量,这个估计量称为矩估计量,估计量的观察值称为矩估计值。
②极大似然估计法:
若总体
的密度函数为
其中
是未知参数,
是来自总体
的样本,称
为
的似然函数,若有
使得
成立,则称
为
的极大似然估计量,估计量的观察值称为极大似然估计值。
两种方法的比较如下:
(1)矩法估计量与极大似然估计量不一定相同;
(2)用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失;
(3)极大似然估计法精度较高,但运算较复杂;
(4)不是所有极大似然估计法都需要建立似然方程。