一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. x→0时,α(x),β(x)是非零无穷小量,给出以下4个命题:
①若α(x)~β(x),则α
2(x)~β
2(x);
②若α
2(x)~β
2(x),则α(x)~β(x);
③若α(x)~β(x),则α(x)-β(x)=ο(α(x));
④若α(x)-β(x)=ο(α(x)),则α(x)~β(x);
其中真命题是:______
A B C D
C
[解析]
①若α(x)~β(x),则
.因此
,①正确,
②错,反例α(x)=x,β(x)=-x;
③若α(x)~β(x),则
,则
,因此α(x)-β(x)=ο(α(x)),③正确,
④若α(x)-β(x)=ο(α(x)),则
,则
,则
,即α(x)~β(x),④正确,
因此真命题有①③④,选C.
2. 己知
,(n=1,2,…,n),则______
- A.有最大值,有最小值
- B.有最大值,没有最小值
- C.没有最大值,有最小值
- D.没有最大值,没有最小值
A B C D
A
[解析]
,因此
必有界,且根据
的单调性可得x<e时单增,x>e时单减,因此下界是1,
和
是最大的两个值,对于数列a
n来说,a
1=1+1=2,
,当n>3时,
在
中取最大值,
中取最大值,所以必有最大值,排除(C)(D).
再考虑是否有最小值,只有n为偶数时才有可能成为最小值,接下来证明当n≥3时,
,即证
,即证n
n+1>(n+1)
n.可以利用单调性,证明b>a>e时,a
b>b
a,因此n≥3,可得n
n+1>(n+1)
n,即n≥3时,
成立.因此仅当n=2时,
为最小值.
因此选A.
3. f(t)连续,
,则______
A.
B.
.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
综上,正确选项为C.
4.
.则______
- A.I1<I2<I3
- B.I2<I1<I3
- C.I1<I3<I2
- D.I3<I2<I1
A B C D
A
[解析] 比较I
1,I
2,令
,x∈(0,1)则
,x∈(0,1),又f(0)=0,所以f(x)<f(0)=0,I
1<I
2;
再比较I
2,I
3,令
h(x)=ln(1+x)(1+sinx)-2x(1+cosx)
=ln(1+x)-x+sinx·ln(1+x)-x-2xcosx,x∈(0,1)
其中
ln(1+x)-x<0, sinx-ln(1+x)-x<0, -2xcosx<0,则I
2<I
3,故选A.
5. 设A为3阶矩阵,
,则A特征值为1,-1,0的充分必要条件是
A.存在可逆矩阵P,Q,使得
B.存在可逆矩阵P,使得
C.存在正交矩阵Q,使得
D.存在可逆矩阵P,使得
A B C D
B
[解析] A有3个不同特征值,故A一定可以对角化
存在可逆矩阵P,使得
.
6. 设矩阵
,则线性方程组Ax=b解的情况为
- A.无解
- B.有解
- C.有无穷多解或无解
- D.有唯一解或无解
A B C D
D
[解析] 根据非齐次方程组AX=b解判别的充要条件:系数矩阵秩与增广矩阵秩的关系当r(A)=r(A,b)=n时,AX=b有唯一解;
当r(A)=r(A,b)<n时,AX=b有无穷多解;
当r(A)<r(A,b)时,AX=b无解;
当a≠1或b=1时,此时方程组无解;
当a≠1且b≠1时,原式化简为
当a=b时,
,r(A)<r(A,b),此时方程组无解;
当a≠b时,r(A)=r(A,b)=3,此时AX=b有唯一解。故答案选D.
7. 设
,若向量组α
1,α
2,α
3与α
1,α
2,α
4等价,则λ的取值范围是______
- A.{0,1}
- B.{λ|λ∈R,λ≠-2}
- C.{λ|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}
- D.{λ|λ∈R,λ≠-1}
A B C D
C
[解析]
已知α
1,α
2,α
3与α
1,α
2,α
4等价,则r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
4)=r(α
1,α
2,α
3,α
4)
当λ=-1时,r(α
1,α
2,α
3)=3,r(α
1,α
2,α
4)=2与向量组等价矛盾,故λ≠-1
当λ=-2时,r(α
1,α
2,α
3)=2,r(α
1,α
2,α
4)=3与向量组等价矛盾,故λ≠-2
故排除B,D;
当λ=2,r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
4)=3,故排除A,于是该题选择C.
9. 设随机变量X
1,X
2,…,X
n独立同分布,X
i的概率密度
,则
依概率收敛于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由辛钦大数定律知,
依概率收敛于E(X
2).
由于
.故选B.
10. 二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
已知事件{max(X,Y)=2}与事件{min(X,Y)=1}相互独立,则Cov(X,Y)=______
A B C D
B
[解析]
令事件A={max(X,Y)=2},B={min(X,Y)=1}则
P(A)=P{X=-1,Y=2}+P{X=1,Y=2}=b+0.1
P(B)=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}=0.2,
P(AB)=P{X=1,Y=2}=0.1
因为事件A,B独立,所以P(AB)=P(A)P(B),即
(b+0.1)×0.2=0.1,又由规范性知a+b=0.6,则可得a=0.2,b=0.4,所以X的边缘分布律为
Y的边缘分布律为
则E(X)=-1×0.6+1×0.4=-0.2,E(Y)=0×0.3+1×0.2+2×0.5=1.2
E(XY)=-1×0.1+(-2)×0.4+1×0.1+2×0.1=-0.6
所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.36.
二、填空题1.
=______.
2.
=______.
[解析]
3. 设f(x)=e
sinx+e
-sinx,f"'(2π)=______.
0
[解析]
f(x)为周期为2π的偶函数,f"'(x)为周期为2π的奇函数,f"'(2π)=f"'(0)=0.
4.
=______.
e2-2e+1.
[解析]
5. 已知A是3阶矩阵,将A第2行与第3行互换,再将第2列的-1倍加到第1列得矩阵
,A
-1为A的逆,则tr(A
-1)=______.
-1
[解析] 由题可设
则E
23AE
21(-1)=B,A=E
23-1BE
21-1(-1)=E
23BE
21(1)
故tr(A
-1)=-1
6. 设A,B,C为随机事件,且A与B互不相容,A与C互不相容,B与C相互独立,P(A)=P(B)=P(C)=
,则P(B∪C|A∪B∪C)=______.
[解析]
由B与C相互独立知,
P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B)P(C)=
,
又A与B互不相容,A与C互不相容,
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)=
,
得P(B∪C|A∪B∪C)=
.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设函数y(x)是微分方程
的满足y(1)=3的解,求曲线y=y(x)的渐近线.
.
将y(1)=3代入可得C=e,即
(x>0).
由函数解析式可知,曲线没有垂直渐近线;
又由于
,
曲线没有水平渐近线;
又
故曲线有斜渐近线y=2x.
2. 某单位产品产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定,生产函数
,销售单价p与Q的关系p=1160-1.5Q.若单位资本投入和劳动投入的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.
由题意得利润函数L=pQ-6x-8y=(1160-1.5Q)Q-6x-8y,化简得
由L分别对x和y求偏导并令其为零:
解得
此时利润最大,利润最大时的产量Q=384.
3. 已知区域D为
,计算
设区域D的面积为S
D,
将直角坐标化为极坐标后,有
所以I=2-π-(4-π)=2π-2.
4. 求幂级数
的收敛域及和函数S(x).
(1)设
则x∈(-1,1),收敛区间为(-1,1),
当
收敛,则收敛域为[-1,1]
(2)
记
关于S
1(X),当x=0时,S
1(x)=1.
当x≠0时,
记
则
关于S
2(X),当x=0时,S
2(x)=1.
当x≠O时,
记
则
则
已知二次型f(x1,x2,x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3.5. 求正交变换x=Qy化二次型为标准型;
f(x
1,x
2,X
3)=3x
12+4x
22+3x
32+2x
1x
3,
二次型矩阵为
,则特征方程为
得特征值λ
1=λ
2=4,λ
3=2.
当λ
1=λ
2=4时,(4E-A)x=0得ξ
1=(0,1,0)
T,ξ
2=(1,0,1)
T 当λ
3=2时,(2E-A)x=0得ξ
3=(1,0,-1)
T,
将ξ
1=(0,1,0)
T,ξ
2=(1,0,1)
T,ξ
3=(1,0,-1)
T正交单位化得
η
1=(0,1, 0)
T,
可得
,即
f(x)=4y
12+4y
22+2y
32
6. 证明
由第一小题知f(x)=4y
12+4y
22+2y
32,x=Qy,故x
Tx=y
TQ
TQy=y
Ty
故
当y
1=y
2=0,y
3≠0时,可取到最小值2.
所以存在非零向量y,即存在非零向量x,使得
取到最小值2.得证.
7. 设X
1,X
2,…X为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本,Y
1,Y
2,…Y
m为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中θ(θ>0)是未知参数,利用样本X
1,X
2,…X
n,Y
1,Y
2,…Y
m求θ的最大似然估计量
,并求
.
(1)由题意得,
则
设x
1,x
2,…x
n,y
1,y
2,…y
m为X
1,X
2,…X
n,Y
1,Y
2,…Y
m的样本观察值,则
当x
i>0,y
j>0时,
得θ的最大似然估计量为
(2)