一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 己知f(x)满足
,则______
A.f(1)=0.
B.
C.f'(1)=1.
D.
A B C D
B
[解析]
,B项正确,但f(x)连续性未知,故f(1)未知,其他三项均错.
2. 己知
,且f(u)可导,
,则______
A.
B.
C.
D.f(1)=0,f'(1)=1.
A B C D
B
[解析]
3. 设有数列
,其中x
n满足
,则______
A.若
存在,则
存在.
B.若
存在,则
存在.
C.若
存在,则
存在,但
不一定存在.
D.若
存在,则
存在,但
不一定存在.
A B C D
D
[解析] 取
,则A、B、C均错,且D的“
不一定存在”是正确的;D项的“
存在”的原因:当
时,0≤cosx
n≤1,而sinx在[0,1]上单调,故
存在.
4. 已知
则______
- A.I1<I2<I3.
- B.I2<I1<I3.
- C.I1<I3<I2.
- D.I3<I2<I1.
A B C D
A
[解析] 令
,当0<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在[0,1]上单调递减,当0<x<1时f(x)<f(0)=0,所以
I
1<I
2;又0≤x≤1时,
故I
2<I
3,选A.
6. 设A,B均为n阶矩阵,若方程组Ax=0与Bx=0同解,则______
A.方程组
只有零解.
B.方程组
只有零解.
C.方程组
同解.
D.方程组
同解.
A B C D
C
[解析] 由A,B为n阶实矩阵,Ax=0与Bx=0同解,则
,即A,B行向量组等价.
由Ay
1=0,By
1=0同解,Ay
2=0,By
2=0通解,故
同解.故选C.
7. 设向量组
,若向量组α
1,α
2,α
3与α
1,α
2,α
4等价,则λ可取______
- A.{0,1}.
- B.{λ|λ∈R,λ≠-2}.
- C.{λ|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}.
- D.{λ|λ∈R,λ≠-1}.
A B C D
C
[解析] 记A=(α1,α2,α3),B=(α1,α2,α4),由|A|=(λ+2)(λ-1)2,|B|=(λ2-1)2,当λ≠-2,λ≠±1时,|A|≠0,|B|≠0,即r(A)=r(B)=3,则α1,α2,α3与α1,α2,α4均为R3的基,故等价;
当λ=-1时,r(A)=3,r(B)<3,故α1,α2,α3与α1,α2,α4不等价;
当λ=-2时,r(A)<3,r(B)=3,故α1,α2,α3与α1,α2,α4不等价;
当λ=1时,r(A)=r(B)=r(A,B)-1,故α1,α2,α3,α1,α2,α4等价;故选C.
9. 设随机变量X
1,X
2,X
3,X
4独立同分布,且X
1的4阶矩存在,设
,k=1,2,3,4,则由切比雪夫不等式,对于任意的ε>0,有
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 记
,显然可得E(Y)=μ
2;则
又
所以
选A.
10. 设随机变量X~N(0,1),在X=x条件下随机变量Y~N(x,1),则X与Y的相关系数为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由题意
且
所以
又因为
故Y~N(0,2),D(Y)=2;
所以
,选D.
二、填空题1. 函数f(x,y)=x
2+2y
2在点(0,1)的最大方向导数为______.
4
[解析] f(x,y)在某一点处的最大方向导数是其梯度的模,
.
,所以最大的方向导数
3. 当x≥0,y≥0时,x
2+y
2≤ke
x+y恒成立,则k的取值范围是______.
[4e-2,+∞)
[解析] 原不等式即k≥(x
2+y
2)e
-(x+y),x≥0,y≥0,
令f(x,y)=(x
2+y
2)e
-(x+y),x≥0,y≥0,
当x>0,y>0时,直接求驻点,
解得x=y=1,且f(1,1)=2e
-2.
当x=0时,f(0,y)=y
2e
-y=g(y),
g
'(y)=2ye
-y-y
2e
-y=0,y=0或2,
且g(0)=0,g(2)=4e
-2.
当y=0时,同理解得f(0,0)=0,f(2,0)=4e
-2.
比较可得,f(x,y)的最大值为f(0,2)=f(2,0)=4e
-2.
于是k≥4e
-2.
4. 已知级数
的收敛域为(a,+∞),则a=______.
-1
[解析] t=e
-x,
于是
的收敛区间为-e<t<e,
那么-e<e
-x<e,解得x>-1,于是a=-1.
5. 已知矩阵A和E-A可逆,其中E为单位矩阵,若矩阵B满足(E-(E-A)
-1)B=A,则B-A=______.
-E
[解析] 由(E-(E-A)
-1)B=A
(E-A)
-1(E-A-E)B=A
-AB=A-A
2-B=E-A
B-A=-E
6. 设A,B,C随机事件,且A与B互不相容,A与C互不相容,B与C相互独立,若
,则P(B∪C|A∪B∪C)=______.
[解析] 因为B与C相互独立,有
又因A与B互不相容,A与C互不相容,有P(AB)=P(AC)=P(ABC)=0.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设函数y(x)是微分方程
的满足y(1)=3的解,求曲线y=y(x)的渐近线.
解:
将y(1)=3代入可得C=e,即
由函数解析式可知,曲线没有垂直渐近线;
又由于
曲线没有水平渐近线;
故曲线有斜渐近线y=2x.
2. 已知平面区域
解:将积分区域D分为两部分D=D
1+D
2,其中:
D
1={(x,y)|y≤x+2,-2≤x≤0,0≤y≤2),D
2={(x,y)|x
2+y
2≤4,x≥0,y≥0},
其中:
故I=π-2+π=2(π-1).
3. L是曲面∑:4x
2+y
2+z
2=1,x≥0,y≥0,z≥0的边界,曲面方向朝上,己知曲线L的方向和曲面的方向符合右手法则,求
解:由斯托克斯公式可得:
令∑1:4x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0,指向z轴负向,
∑2:4x
2+z
2≤1,x≥0,z≥0,指向y轴负向,
∑3:y
2+z
2≤1,y≥0,z≥0,指向x轴负向,
4. 设f(x)在(-∞,+∞)有二阶连续导数,证明:f"(x)≥o的充要条件为对不同实数a,b
证:
,ξ介于x与
之间,
必要性:若f"(x)≥0,则f"(ξ)≥0,有
充分性:若存在x
0使得f"(x
0)<0,因为f(x)有二阶连续导数,故存在δ>0使得f"(x)在[x
0-δ,x
0+δ]内恒小于零,记a=x
0-δ,b=x
0+δ,
此时
矛盾!故f"(x)≥0.
综上,充分性必要性均得证.
己知二次型5. 写出f(x
1,x
2,x
3)对应的矩阵;
解:
6. 求正交变换x=Qy,将f(x
1,x
2,x
3)化为标准形;
解:
得λ
1=λ
2=0,λ
3=14;
将α
1,α
2进行施密特正交化可得
将(β
1,β
2,α
3)单位化,可得
利用正交变换x=Qy,将f(x
1,x
2,x
3)化为标准形
;
8. 设X
1,X
2,…,X
n来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本,设Y
1,Y
2,…,Y
m来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中θ(θ>0)为未知数,利用样本X
1,X
2,…,X
n,Y
1,Y
2,…,Y
m,求θ的最大似然估计量
,并求
.
解:(1)由题意知X
1,X
2,…,X
n的总体X服从
,Y
1,Y
2,…,Y
m的总体Y服从
,从而X的概率密度为
,Y的概率密度为
构造最大似然函数为
(2)