一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设u
n≠0(n=1,2,…),且
则级数
______
- A.发散
- B.绝对收敛
- C.条件收敛
- D.敛散性由所给条件无法确定
A B C D
C
[解析] 由
充分大时
且
所考查级数为交错级数.但不能保证
的单调性,不满足莱布尼茨定理的条件,于是按定义考查部分和
故原级数收敛.再考查取绝对值后的级数
注意
级数
发散,所以
发散.
2. 若f(x)在[a,b]上可导,且f'
+(a)·f'
-(b)>0和f(a)=f(b)=0.今给出下列论断:
①f(x)在(a,b)内必有拐点.
②f(x)在(a,b)内必有极大值点和极小值点.
③f(x)的最大值点和最小值点都在(a,b)内.
④f(x)在(a,b)内只可能有有限个极值点.
其中正确的论断有______
A B C D
C
[解析] 对选项①:用反证法,如果f(x)在(a,b)内没有拐点,则f(x)在(a,b)内都是上凸的,或者都是下凸的.即f'(x)在(a,b)内是单调减的,或者f'(x)在(a,b)内是单调增的.因此f'(x)在(a,b)至多只有一个零点.但由条件f'
+(a)·f'
-(b)>0和f(a)=f(b)=0,可推出f(x)在(a,b)内至少还有一个零点,即f(x)在[a,b]内至少有三个零点,因此f'(x)在(a,b)内至少有两个零点,这与f'(x)在(a,b)内单调矛盾.因此①正确.
对选项②③:f(x)在[a,b]上连续
f(x)在[a,b]上有最大值、最小值点;
f(a)=f(b)和f'(a)·f'(b)>0
最大值、最小值点不在端点;
区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点
f(x)在(a,b)内必有极大值点和极小值点,②③正确.
对选项④:不正确,可举反例,如函数
满足条件:在[a,b]上可导,且f'
+(a)·f'
-(b)>0和f(a)=f(b)=0.其导函数为
显然它在x=0点附近有无穷多个极值点.
3. 连续独立地投两次硬币,令A
1={第一次出现正面},A
2={第二次出现正面},A
3={两次中一次正面一次反面},A
4={两次都出现正面},则______.
- A.A1,A2,A3相互独立
- B.A1,A2,A3两两独立
- C.A2,A3,A4相互独立
- D.A2,A3,A4两两独立
A B C D
B
[解析]
因为P(A
3A
4)=0,所以A
2,A
3,A
4不两两独立,C、D不对;
因为P(A
1A
2A
3)=0≠P(A
1)P(A
2)P(A
3),所以A
1,A
2,A
3两两独立但不相互独立,选B.
4. 设α
1,α
2,…,α
m与β
1,β
2,…,β
s为两个n维向量组,且r(α
1,α
2,…,α
m)=r(β
1,β
2,…,β
s)=r,则______.
- A.两个向量组等价
- B.r(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βs)=r
- C.若向最组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βs线性表示,则两向量组等价
- D.两向量组构成的矩阵等价
A B C D
C
[解析] 不妨设向量组α1,α2,…,αm的极大线性无关组为α1,α2,…,αr向量组β1,β2,…,βs的极大线性无关组为β1,β2,…,βr,若α1,α2,…,αm可由β1,β2,…,βs线性表示,则α1,α2,…,αr也可由β1,β2,…,βr线性表示,若β1,β2,…,βr不可由α1,α2,…,αr线性表示,则β1,β2,…,βs也不可由α1,α2,…,αm线性表示,所以两向量组秩不等,矛盾,选C.
6.
是函数z=z(x,y)在点(x
0,y
0)处取得极值的______
- A.必要条件但非充分条件
- B.充分条件但非必要条件
- C.充要条件
- D.既非必要也非充分条件
A B C D
D
[解析] 若
,则(0,0)为其极小值点,但
均不存在.
7. 设A为n阶实矩阵,A
T为A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ):Ax=0和(Ⅱ):A
TAx=0,必有______
- A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解.
- B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
- C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.
- D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
A B C D
A
[解析] 若Ax=0,则显然有A
TAx=0,即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解;反过来,若A
TAx=0则有
x
TA
TAx=(Ax)
T(Ax)=0,
从而推出Ax=0.
因为若设Ax=(a
1,a
2,…,a
n)
T,则
于是有
a
1=a
2=…=a
n=0,
即Ax=0.说明(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解.
8. 设随机变量X与Y相互独立,且
,若
,则______
- A.μ1<μ2.
- B.μ1<μ2.
- C.σ1<σ2.
- D.σ1>σ2.
A B C D
A
[解析] 由于
可知
,由于Φ(x)单调增加,则
,即μ
2>μ
1.
9.
其中D={(x,y)|x
2+y
2≤1},则______
- A.c>b>a
- B.a>b>c
- C.b>a>c
- D.c>a>b
A B C D
A
[解析] 由于D={(x,y)|x
2+y
2≤1},所以
由cosx在
上单调减少可得
因此有c>b>a.
二、填空题1. 设X
1,X
2,…,X
100相互独立且在区间[-1,1]上同服从均匀分布,则由中心极限定理
2. 设向量α=[b
1,b
2,b
3,b
4]
T可由向量组α
1=[1,1,0,0]
T,α
2=[0,1,1,0]
T,α
3=[0,0,1,1]
T,α
4=[1,0,0,1]
T线性表出,则b
1,b
2,b
3,b
4应满足条件______.
b4-b3+b2-b1=0
[解析] α可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出,设α=x
1α
1+x
2α
2+x
3α
3+x
4α
4,即
对增广矩阵作初等行变换
方程组有解,故b
4-b
3+b
2-b
1=0.
3. z=z(x,y)由Φ(x-ax,y-bz)=0所确定,其中Φ(u,v)是变量u,v的任意可微函数,
,
存在,则
1
[解析] 由
得
4. 设A是三阶矩阵,将A的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为B.若|A|=a,则|B|=______.
a
[解析]
5. 设总体X~N(μ,σ
2),X
1,X
2,…,X
10为总体的简单样本,S
2为样本方差,则D(S
2)=______.
6. 设线性方程组
有解,则方程组右端
[解析] 设
使方程组有解,即当
其中k
1,k
2,k
3是任意常数,方程组有解,即[k
1,k
2,k
3]
T.或说
是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时,方程组有解.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设函数f(x)=x
4+x
3-1.求f(x)全部零点的个数,并估计每个零点所在区间,使估计区间的长度不超过0.5.
解:首先,因为f(0)=-1<0,
,所以在(-∞,0)和(0,+∞)内至少各有一个零点.又f'(x)=4x
3+3x
2=x
2(4x+3),只有两个驻点x
1=0,
,且
在
内有一个零点;在(0,+∞)内有一个零点,共有两个零点.
因为f(-2)=7>0,f(-1)=-1<0,
所以在区间
中有一个根.又由f(1)=1>0,f(0)=-1<0,
所以在区间
中有另一个根.
设二次型f(x1,x2,x3)=2ax1x2+2bx2x3-2x1x3,(a>0),经正交变换x=Py化为.2. 求a,b.
解:
,A的特征方程为
即有λ
3-(a
2+b
2+1)λ+2ab=0;
又由于A的特征值为2,-1,-1,于是A的特征方程为(λ+1)
2(λ-2)=0,即有λ
3-3λ-2=0.
∴
解得a=1,b=-1.(注意a>0).
3. 求上述正交矩阵P.
解:∴
,特征值为2,-1,-1.
当λ=2时,由(A-2E)x=0,得特征向量α
1=(-1,-1,1)
T;
当λ=-1时,由(A+E)x=0,得特征向量α
2=(-1,1,0)
T,α
3=(1,0,1)
T.
把α
2,α
3正交化得,β
2=(-1,1,0)
T,β
3= (1,1,2)
T.
再把β
1=α
1=(-1,-1,1)
T,β
2=(-1,1,0)
T,β
3=(1,1,2)
T单位化,得
已知A是n阶实对称矩阵,满足A2-3A+2E=O,且B=A2-2A+3E.4. 求B
-1.
解:由题设A
2-3A+2E=O,
得A
2=3A-2E.代入B,得
B=A
2-2A+3E=3A-2E-2A+3E=A+E.
又A
2-3A+2E=(A+E)(A-4E)+6E=O,
即
得B=A+E可逆,且
5. 证明:B正定.
证:BT=(A2-2A+3E)T=B,B是实对称矩阵,
A2-3A+2E=O两边右乘A的特征向量ξ,得(λ2-3λ+2)ξ=0,又ξ≠0,则λ=1或2.故A的特征值只能取值为1或2.B=A+E的特征值只能取值为2或3,均大于零,故B正定.
或B=A2-2A+3E=(A-E)2+2E,由正定矩阵的定义即得B正定.
6. 已知4阶方阵A=[α
1,α
2,α
3,α
4],α
1,α
2,α
3,α
4均为4维列向量,其中α
2,α
3,α
4线性无关,α
1=2α
2-α
3,如果β=α
1+α
2+α
3+α
4,求线性方程组AX=β的通解.
解:方法一 由α
1=2α
2-α
3及α
2,α
3,α
4线性无关组知r(A)=r(α
1,α
2,α
3,α
4)=3.且对应齐次方程组AX=0有通解k[1,-2,1,0]T,又β=α
1,α
2,α
3,α
4,即
故非齐次方程组有特解η=[1,1,1,1]
T,故方程组的通解为k[1,-2,1,0]
T+[1,1,1,1]
T.
方法二
故方程有两特解η
1=[1,1,1,1]
T,η
2=[0,3,0,1]
T.
对r(A)=3,故方程组的通解为
k(η
1-η
2)+η
1=k[1,-2,1,0]
T+[1,1,1,1]
T.
方法三 由AX=[α
1,α
2,α
3,α
4]X=β=α
1+α
2+α
3+α
4,得
x
1α
1+x
2α
2+x
3α
3+x
4α
4=α
1+α
2+α
3+α
4.
将α
1=2α
2-α
3代入,整理得
(2x
1+x
2-3)α
2+(-x
1+x
3)α
3+(x
4-1)α
4=0,
α
2,α
3,α
4线性无关,得
解方程组,得
7. 设
(1)
(2)
讨论它们在点(0,0)处的
①偏导数的存在性;
②函数的连续性;
③方向导数的存在性;
④函数的可微性.
解:(1)①按定义易知
②
(当(x,y)→(0,0)),所以f(x,y)在点(0,0)处连续.
③
④
按可微定义,若可微,则
即应有
但上式并不成立(例如取Δy=kΔx,上式左边为
),故不可微.
(2)以下直接证明④成立,由此可推知①,②,③均成立.事实上,
所以
按可微的定义知,g(x,y)在点(0,0)处可微.
设随机变量X,Y相互独立,且X的概率分布为,Y的概率密度为8. 求P{Y≤EY}.
解:
9. 求Z=X+Y的概率密度.
解:
故Z的概率密度为