一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设连续型随机变量X的概率密度函数f(x)是一个偶函数,F(x)为X的分布函数,则对任意实数x∈R,有F(-x)+F(x)等于______.
A.0.
B.
C.1.
D.2.
A B C D
C
[解析]
还可用特例法,取X~N(0,1),于是F(-x)+F(x)=1,秒杀啊!
3. 设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为
其中A为常数,则
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由
可得A=6.所以
4. 抛物线y
2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积为______
A.
B.18
C.
D.8
A B C D
B
[解析] 选积分变量为y(如下图),两条曲线的交点
所求面积
8. 设A,B,C均是3阶方阵,满足AB=C,其中
则必有______
- A.a=-1时,r(A)=1.
- B.a=-1时,r(A)=2.
- C.a≠-1时,r(A)=1.
- D.a≠-1时,r(A)=2.
A B C D
C
[解析] 显然r(C)=1,又
当a≠-1时,有r(B)=3,B可逆,因AB=C,故r(A)=r(AB)=r(C)=1.故应选C.
因C成立,显然D不能成立.
当a=-1时,可取
,有AB=C,此时r(A)=1;
也可取
,也有AB=C,此时r(A)=2.
故A,B均不成立.
9. 设f(x)=sin(cosx),φ(x)=cos(sinx),则在区间
内______
- A.f(x)是增函数,φ(x)是减函数
- B.f(x),φ(x)都是减函数
- C.f(x)是减函数,φ(x)是增函数
- D.f(x),φ(x)都是增函数
A B C D
B
[解析] 注意在
内,sinx是增函数,cosx是减函数.
任取
且x
1<x
2,有cosx
1>cosx
2,所以sin(cosx
1)>sin(cosx
2),即f(x)是减函数;由于sinx
1<sinx
2,所以cos(sinx
1)>cos(sinx
2),即φ(x)是减函数.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售,售价分别为p
1,p
2,销售量分别为q
1,q
2,需求函数分别为q
1=24-002p
1,q
2=10-0.05p
2,总成本函数为C=35+40(q
1+q
2),问厂家如何确定两个市场的销售价格,能使其获得总利润最大?最大利润为多少?
解:p
1=120-5q
1,p
2=200-20q
2,收入函数为R=p
1q
1+p
2q
2,
总利润函数为L=R-C=(120-5q
1)q
1+(200-20q
2)q
2-[35+40(q
1+q
2)],
由
得q
1=8,q
2=4,从而p
1=80,p
2=120,L(8,4)=605,
由实际问题的意义知,当p
1=80,p
2=120时,厂家获得的利润最大,最大利润为605.
设2. f(x,y)在点(0,0)处是否连续?
解:因为
,所以
,故f(x,y)在点(0,0)处连续.
3. f(x,y)在点(0,0)处是否可微?
解:
因为
所以f(x,y)在点(0,0)处不可微.
4. 设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,
证明:(1)
存在;
(2)反常积分
与无穷级数
同敛散.
证:(1)由f(x)单调减少,故当k≤x≤k+1时,f(k+1)≤f(x)≤f(k).两边从k到k+1积分,得
即
即{a
n}有下界.又
即数列{a
n}单调减少,所以
存在.
(2)由于f(x)非负,所以
为x的单调增加函数.当n≤x≤n+1时,
所以
由(1)知
存在,所以
从而推知
由f(x)单调减少,当k≤x≤k+1时,可以写出关于f(x)的一个不等式,两边从k到k+1积分,便可得到关于an的一个表达式.
5. 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如下图),截面的面积为5平方米,问底宽x为多少时才能使建造时所用的材料最省?
解:设截面周长为S.矩形高为y,则
①
②
由②解出
代入①得
故唯一极值可疑点为
由问题的实际意义知,截面周长必有最小值,并且就在此驻点处取得,因此当底宽为
2.367米时,截面的周长最小,因而所用材料最省.
设数列{an}满足a1>2,,n=1,2,….6. 求证
存在,并求之.
解:由a
1>2,
,知
假设当n=k时,a
n>2成立,则当n=k+1时,
由数学归纳法可知,对一切正整数n,a
n>2.
又由
,
知数列{a
n}单调减少.
由单调有界数列必有极限知
存在,记其极限为a,且a≥2.
在等式
中,令n→∞取极限,得
,
即2a(a-1)=a
2,则a
2-2a=a(a-2)=0,所以a=0或a=2,但a≥2,所以a=2,
即
7. 求幂级数
的收敛半径、收敛区间及收敛域.
解:由
,知幂级数
的收敛半径R=1,收敛区间为(-1,1).
在x=1处,幂级数
的通项为
,且
,故在x=1处该幂级数发散.
又因
,
所以
收敛,则幂级数
的收敛域为[-1,1).
9. 若f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
试证:
f(x)≡0(-∞<x<+∞).
证:由
可知f'(x)=f(x),其通解为f(x)=ce
x,又f(0)=0,故f(x)≡0.