一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设f(x)=u(x)+v(x),g(x)=u(x)-v(x),并设
与
都不存在,下列论断正确的是______
A.若
不存在,则
必存在
B.若
不存在,则
必不存在
C.若
存在,则
必不存在
D.若
存在,则
必存在
A B C D
C
[解析] 令
当x→0时可排除A;令
当x→0时可排除B;令
当x→0时可排除D.
2. 设A是n阶可逆方阵(n≥2),A
*是A的伴随阵,则(A
*)
*=______
- A.|A|n-1A
- B.|A|n+1A
- C.|A|n-2A
- D.|A|n+2A
A B C D
C
[解析] AA
*=|A|E,得
A
*(A
*)
*=|A
*|E,(A
*)
*=|A
*|(A
*)
-1,
其中
故
3. 设平面区域D:(x-2)
2+(y-1)
2≤1,若比较
的大小,则有______
- A.I1=I2
- B.I1>I2
- C.I1<I2
- D.不能比较
A B C D
C
[解析] 由二重积分的比较性质,只需比较D上(x+y)
2与(x+y)
3的大小,即x+y与1的大小.从几何的角度也就是考查网域D与直线x+y=1的位置关系.因积分域D的圆心(2,1)到直线x+y=1的距离
(1为圆的半径),故闭域D在直线x+y=1的上方,即当(x,y)∈D时,有x+y>1,从而在D上(x+y)
2<(x+y)
3,则I
1<I
2.
4. 设常数a>1,函数
则f(x)在x=0处______
- A.不连续.
- B.连续但不可导.
- C.可导,f'(0)=α.
- D.可导,f'(0)=0.
A B C D
D
[解析] 考虑x>0处,由于α>1,有
当
时,
,所以当x→0
-时,n→∞,
.又f(0)=0.所以f(x)在x=0处连续,不选A.再看f'(0)是否存在,等于多少?
而当
时,
令x→0
-,由于α>1,再由夹逼定理得
所以f'(0)存在且等于0.选D.
7. 设3阶矩阵A有3个互不相同的特征值λ
1,λ
2和λ
3,其对应的特征向量分别为ξ
1,ξ
2和ξ
3.则向量组ξ
1,A(ξ
1+ξ
2),A
2(ξ
1+ξ
2+ξ
3)线性无关的充要条件是______
- A.λ1λ2≠0.
- B.λ1λ3≠0.
- C.λ2λ3≠0.
- D.λ1λ2λ3≠0.
A B C D
C
[解析] 令k
1ξ
1+k
2A(ξ
1+ξ
2)+k
3A
2(ξ
1+ξ
2+ξ
3)=0,
得
由于ξ
1,ξ
2,ξ
3线性无关,故①式成立的充要条件是
故使ξ
1,A(ξ
1+ξ
2),A
2(ξ
1+ξ
2+ξ
3)线性无关的充要条件是上面关于k
1,k
2,k
3的齐次方程组只有零解,即系数行列式
,即
.选C.
8. 二元函数
其中m,n为正整数,函数在(0,0)处不连续,但偏导数存在,则m,n需满足______
- A.m≥2,n<2
- B.m≥2,n≥2
- C.m<2,n≥2
- D.m<2,n<2
A B C D
B
[解析] 当(x,y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0,0)时,
当m≥2,n≥2时,
又
k取不同值,上式结果不唯一,所以函数在(0,0)处极限不存在,故函数不连续.
又因为
同理可得
故偏导数存在.
当n<2时,有n=1,
因而,函数f(x,y)在(0,0)处连续.
同理,当m<2时,函数f(x,y)在(0,0)处连续.综上,应选B.
10.
中x
3的系数为______
A B C D
B
[解析] 按第1行展开:
其中第1,3,4项都没有x
3的因子,所以只分析第2项.
因为第2项
的行列式中只有主对角线上元素的乘积是x
2项,所以行列式展开式含x
3项的系数是-2.
由行列式展开定理,只有a
12A
12这一项有可能得到x
3项,又
所以行列式中x
3项的系数就是-2.故应选B.
二、填空题1. 设A是n阶矩阵,满足A
5=0,则E-A可逆,且(E-A)
-1=______.
E+A+A2+A3+A4
[解析] A5=O,故-A5=O,两边加E,得
E-A5=E
左边分解因式,有(E-A)(E+A+A2+A3+A4)=E,
故(E-A)-1可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+A3+A4.
2. 微分方程(y
2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是______.
[解析] 方法一 原方程化为
由通解公式得
方法二 原方程写为(y
2+1)dx+(2x-y)ydy=0,是全微分方程,再改写为
(y
2+1)dx+xd(y
2+1)-y
2dy=0,即d[x(y
2+1)]=y
2dy,积分得通解
或
3. 已知X
1,X
2…,X
n为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本.记X=min(X
1,…,X
n-1)和Y=X
n则X的分布函数F
X(x)=______,Y的分布函数F
Y(y)=______和(X,Y)的联合分布G(x,y)=______.
1-[1-F(x)]n-1;F(y);{1-[1-F(x)]n-1}F(y)
[解析] 根据简单随机样本各分量Xi相互独立且与X同分布,有
Fx(x)=P{min(X1,X2…,Xn-1)≤x}=1-P{min(X1,X2…,Xn-1)>x}
=1-P{X1>x,X2>x,…,Xn-1>x}=1-P{X1>x}P{X2>x}…P{Xn-1>x}
=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]…[1-P{Xn-1≤x}]=1-[1-F(x)]n-1.
FY(y)=P{Xn≤y}=F(y)
G(x,y)=P{min(X1,…,Xn-1)≤x,Xn≤y}=P{min(X1,…,Xn-1)≤x}P{Xn≤y}
={1-[1-F(x)]n-1}F(y).
4. 设
则f[f(x)]=______.
[考点] 分段函数的复合.
[解析] 根据分段函数的复合运算即可得结果.
解:由f(x)的表达式,有
故应填
5. 微分方程2x
2y'=(x+y)
2满足定解条件y(1)=1的特解是______。
[考点] 微分方程的特解的求法。
[解析] 题设方程可改写为
,这是齐次微分方程,令y=xu,则y'=xu'+u代入即得
。
分离变量得
从而原方程的通解为
。
它包含定义域分别为x>0与x<0的两族函数:
将y(1)=1代入前者有2arctan1=C,即得
。
故所求的特解为
。
6. 设A是3阶矩阵,|A|=3.且满足|A
2+2A|=0,|2A
2+A|=0,则A
*的特征值是______.
[解析] |A||A+2E|=0,因|A|=3,则|A+2E|=0,故A有特征值λ
1=-2.
又
得
因|A|=3=λ
1λ
2λ
3,故λ
3=3.
故A
*有特征值
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险,每辆车每年的保费为12元.若车丢失,则赔偿车主1000元.假设车的丢失率为0.006,对于此项业务,试利用中心极限定理,求保险公司:
(1)亏损的概率α;
(2)一年获利润不少于40000元的概率β;
(3)一年获利润不少于60000元的概率γ.
解:设X为“需要赔偿的车主人数”,则需要赔偿的金额为Y=0.1X(万元);保费总收入C=12万元.易见,随机变量X服从参数为n,p的二项分布,其中n=10000,p=0.006;EX=np=60,DX=np(1-p)=59.64.由棣莫弗—拉普拉斯定理知,随机变量X近似服从正态分布N(60,59,64),随机变量Y近似服从正态分布N(6,0.5964).
(1)保险公司亏损的概率
(2)保险公司一年获利润不少于4万元的概率
(3)保险公司一年获利润不少于6万元的概率
2. 设事件A,B独立.证明:事件
都是独立的事件组.
证:由A,B独立,得P(AB)=P(A)P(B),
由
,
得
独立.同理可证A.B独立;
由
3. 假设
求A的所有代数余子式之和.
解:先计算出
由于|A|=1,所以
A的所有代数余子式之和即为A
*所有元素之和为0.
4. 设
求f(x)的间断点并指出其类型.
解:首先
其次f(x)的间断点为x=kπ(k=0,±1,…),因为
,所以x=0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点,x=kπ(k=±1,…)为函数f(x)的第二类间断点.
5. 设X
1,X
2,…,X
n为总体X的一个样本,EX=μ,DX=σ
2<∞,求
解:
进而有
6. 设函数f(x)∈C[a,b],且f(x)>0,D为区域a≤x≤b,a≤y≤b.证明:
证:因为积分区域关于直线y=x对称,
所以
,于是
又因为f(x)>0,所以
,从而