一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 交换二次积分
次序正确的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 交换积分次序的步骤是:
①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域D的联立不等式,并作出D的草图,原积分变成二重积分
②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式.
由已知积分的上、下限,可知积分区域的不等式表示为:
见下图,则
2. 设二次型f(x
1,x
2,x
3)=x
TAx,其矩阵A满足A
3=A,且行列式|A|>0,矩阵A的迹trA<0,则此二次型的规范形为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 本题考查求抽象二次型的规范形.由题设条件特点只要求得A的特征值即得.
解 由条件A
3=A可知A的特征值必满足λ
3=λ,故λ=0,±1.又由|A|λ
1λ
2λ
3>0,
trA=λ
1+λ
2+λ
3<0知,矩阵A的特征值为1,-1,-1,故二次型x
TAx的规范形为f(x
1,x
2,x
3)=
注 由n阶矩阵A满足f(A)=O可得A的特征值λ必满足f(λ)=0.但由f(λ)=0不能推得f(A)=O.
3. 函数
在区间(-∞,+∞)内______
- A.仅有一个不可导的点.
- B.仅有两个不可导的点.
- C.至少有三个不可导的点.
- D.处处可导.
A B C D
B
[解析] 先要将f(x)的具体表达式写出来.
当|x|<1时,
;
当|x|=1时,
;
当|x|>1时,
.
f(x)的图形如图所示,所以f(x)在x=±1处不可导.选B.
4. 微分方程y"-4y'+4y=x
2+8e
2x的一个特解应具有形式(a,b,c,d为常数)______
- A.ax2+bx+cx2x
- B.ax2+bx+c+dx2e2x
- C.ax2+bx+cxe2x
- D.ax2+(bx2+cx)e2x
A B C D
B
[解析] 对应特征方程为r
2-4r+4=0.特征根是r
1,2=2.而f
1=
x,λ
1=0非特征根.故
又f
2=8e
2x,λ
2=2是二重特征根,所以
合起来就是特解,选B.
6. 设n维列向量组α
1,α
2,…,α
m(m<n)线性无关,则n维列向量组β
1,β
2,…,β
m线性无关的充分必要条件为______
- A.向量组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βm线性表出
- B.向量组β1,β2,…,βm可由向量组α1,α2,…,αm线性表出
- C.向量组α1,α2,…,αm向量组β1,β2,…,βm等价
- D.矩阵A=[α1,α2,…,αm]与矩阵B=[β1,β2,…,βm]等价
A B C D
D
[解析] A=[α
1,α
2,…,α
m],
β
2,…,β
m线性无关(已知α
1,α
2,…,α
m线性无关时).
7. 设f(x)的导数在点x=a处连续,又
,则______.
- A.点x=a是f(x)的极小值点
- B.点x=a是f(x)的极大值点
- C.点(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点
- D.点x=a不是f(x)的极值点,点(a,f(a))也不是曲线f(x)的拐点
A B C D
B
[解析] 解一 因f(x)的导数在点x=a处连续,
,故f'(a)=0,且f"(a)=-2.由二阶导数判别法知,点x=a是f(x)的极大值点.仅B入选.
解二 由
可知,在x=a的近邻域内当x>a时,f(x)<0,当x<a时,f'(x)>0,由一阶导数判别法即知.仅B入选.
[注意] 一般若f(x)连续,则
,f"(a)=A.
利用一阶导数判别法或二阶导数判别法判别之,关键在于由题设条件找出其隐含的条件f'(a)=0,f"(a)=-2.
8. 设λ
1,λ
2是n阶矩阵A的特征值,α
1,α
2分别是A的属于λ
1,λ
2的特征向量,则______
- A.λ1=λ2时,α1与α2必成比例
- B.λ1=λ2时,α1与α2必不成比例
- C.λ1≠λ2时,α1与α2必成比例
- D.λ1≠λ2时,α1与α2必不成比例
A B C D
D
[解析] 当λ1=λ3时,它们为A的重数大于或等于2的特征值,其对应的线性无关的特征向量的个数可能大于1,也可能等于1,所以不能选A和B.
当λ1≠λ2时,由于对应于不同特征值的特征向量必线性无关,所以α1,与α2必不成比例,故选D.
9. 设f(x)在x=x
0的某邻域内有定义,则“
存在等于A”是“f'(x
0)存在等于A”的______
- A.充分条件而非必要条件.
- B.必要条件而非充分条件.
- C.充要条件.
- D.既非充分又非必要条件.
A B C D
D
[解析] 实际上,在仅设“f(x)在x=x
0的某邻域内有定义”的条件下,“
存在等于A”与“f'(x
0)存在等于A”毫无因果关系.举例说明如下:
例如,设
当x≠0时f(x)=1,f'(x)=0,
.但f(x)在x=0处不连续,所以f'(0)不存在.所以“
存在等于A”不是“f'(x
0)=A”的充分条件.
又如,设
有
f'(0)存在等于0,而
不存在.可见“
存在等于A”不是“f'(x
0)=A”的必要条件.
[评注] “设f(x)在x=x
0处连续.在x=x
0的某去心邻域内可导,并设
存在等于A,则f'(x
0)亦存在且等于A”今给予征明如下:
由f(x)在x=x
0处连续,所以
,极限
为“
”型,满足洛必达法则条件(1).又因在x=x
0的某去心邻域f(x)可导,故满足洛必达法则条件(2).又
存在等于A,满足洛必达法则条件(3),所以
即f'(x
0)=A。证毕.此证明中,条件“设f(x)在x=x
0处连续”十分重要.不然,得不出“f'(x
0)存在且等于A”的结论.
10. 设X的概率密度为
则Y=2X的概率密度为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
所以,
故选C.
二、填空题1. 以y=e
2x(C
1cosx+C
2sinx)+5(C
1,C
2为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为______.
y"-4y'+5y=25
[解析] 该方程是二阶线性常系数非齐次微分方程y"+py'+qy=f(x).
对应齐次方程的两个特征根为2±i,所以其方程为y"-4y'+5y=0.
非齐次方程的特解为Y=5,代入方程,得非齐次项f(x)=25.
因此所求方程为y"-4y'+5y=25.
2. 设n维向量α
1,α
2,α
3满足2α
1-α
2+3α
3=0,对于任意的n维向量β,向量组l
1β+α
1,l
2β+α
2,l
3β+α
3都线性相关,则参数l
1,l
2,l
3应满足关系______.
2l1-l2+3l3=0
[解析] 因l1β+α1,l2β+α2,l3β+α3线性相关甘存在不全为零的k1,k2,k3,使得
k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0,
即 (k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0.
因β是任意向量,α1,α2,α3满足2α1-α2+3α3=0,故令2l1-l2+3l3=0时上式成立.故l1,l2,l3应满足2l1-l2+3l3=0.
3. 在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于
”的概率为______.
[解析] 以X,Y分别表示随机取两数的大小,则X与Y相互独立,且服从同一分布
4. 设级数
条件收敛,则p的取值范围是______.
5. 函数
展开成的(x-1)的幂级数为______.
[解析] 因
故
-1<x-1<1,即0<x<2.
6. 设
则a=______.
2
[解析]
又
所以e
a=(a-1)e
a,a=2.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,又连接(a,f(a)),(b,f(b))两点的直线和曲线y=f(x)相交于(c,f(c)),(a<c<b),证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f"(ξ)=0.
解:分别在区间[a,c]及[c,b]上应用拉格朗日中值定理则存在ξ
1∈(a,c),ξ
2∈(c,b),使
但因三点(a,f(a)),(c,f(c)),(b,f(b))在一条直线上,故有
于是f'(ξ
1)=f'(ξ
2).
对f'(x)在区间[ξ
1,ξ
2]上应用罗尔定理,于是存在ξ∈(ξ
1,ξ
2)
(a,b),使得
f"(ξ)=0.
今有方程系列P:xn-2x+1=0,n≥3.2. 证明:P中每一个方程,在(0,1)内都有且仅有一个解.
解:记f
n(x)=x
n-2x+1,则方程x
n-2x+1=0的根,即是函数f
n(x)的零点.
由n>2,当x∈(0,1]时,因为f"
n(x)=n(n-1)x
n-2>0,因此f
n(x)在(0,1]内是凹函数,所以f
n(x)在(0,1]内至多有两个零点.已知有f
n(1)=0,因此f
n(x)在(0,1)内至多有一个零点.
又因
而当n≥3时,
所以f
n(x)在
内至少有一个零点.
由此证得,f
n(x)在(0,1)内有且仅有一个零点,记为x
n,且
3. 设P中的第n个方程的解为x
n,求
的值.
解:思路一:因为
由于
所以存在N>0,当n>N时,
由此可知,f
n(x)的零点
即
所以
思路二:先证x
n,n=3,4,…是单调减数列.
因此,序列{x
n}(n≥3)是单调减,有下界
因此
存在.
又由于
所以有
从而
则
设总体X服从上的均匀分布,从X中抽取一个简单随机样本X1,X2,…,Xn.4. 求θ的最大似然估计量
5. 求
的分布函数.
7. 求级数
的和.
解:此数项级数之和可视作幂级数
的和函数在
处的值.易知
的收敛半径为1.记
,于是
. (1)
记
,则
.而φ(0)=0,故
.
代入式(1),得
[xS(x)]'=xφ(x)=-xln(1-x) (|x|<1)
,
于是
,
故
.
从而
.
[考点] 求收敛幂级数的和函数在一点的函数值.
8. 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上,链条长18m,运动开始时链条一边下垂8m,另一边下垂10m,问整个链条滑过钉子需要多长时间?
解:设链条的线密度为ρ,取x轴正向为垂直向下,设t时刻链条下垂x(t)m,则下垂那段的长度为(10+x)m,另一段长度为(8-x)m,此时链条受到的重力为
(10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg.
链条的总重量为18ρ,由牛顿第二定理F=ma得
,且x(0)=0,x'(0)=0,
解得
,当链条滑过整个钉子时,x=8,
由
已知二次型9. 写出二次型f的矩阵表达式.
解:二次型的矩阵
则二次型f的矩阵表达式f=x
TAx.
10. 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
解:A的特征多项式|A-λE|=-(6+λ)(1-λ)(6-λ),则A的特征值λ
1=-6,λ
2=1,λ
3=6.
λ
1=-6对应的正交单位化特征向量
λ
2=1对应的正交单位化特征向量
λ
3=6对应的正交单位化特征向量
令正交矩阵
所求正交变换
二次型f的标准型