一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设
则下列选项中是A的特征向量的是______
- A.ξ1=[1,2,1]T
- B.ξ2=[1,-2,1]T
- C.ξ3=[2,1,2]T
- D.ξ4=[2,1,-2]T
A B C D
B
[解析] 因
故ξ
2是A的对应于λ=-2的特征向量.
其余的ξ
1,ξ
3,ξ
4均不与Aξ
1,Aξ
3,Aξ
4对应成比例,故都不是A的特征向量.
5. 函数f(x)=xsinx______
- A.在(-∞,+∞)内无界
- B.在(-∞,+∞)内有界
- C.当x→∞时为无穷大
- D.当x→∞时极限存在
A B C D
A
[解析] 对于任意给定的正数M,总存在着点
使|f(x
n)|=
故f(x)在(-∞,+∞)内无界.
C错,对于任意给定的正数M,无论x取多么大的正数,总有x
n=|2nπ|>x(只要
),使f(x
n)=x
nsinx
n=0<M,故当x→0时f(x)不是无穷大.千万不要将无穷大与无界混为一谈.
7. 设
则f(x,y)在(0,0)处______.
- A.连续但不可偏导
- B.可偏导但不连续
- C.可微
- D.一阶连续可偏导
A B C D
C
[解析] 因为
=0=f(0,0),所以f(x,y)在(0,0)处连续;
因为
所以f'
x(0,0)=0,根据对称性,f'
y(0,0)=0,即f(x,y)在(0,0)处可偏导;
由
得f(x,y)在(0,0)处可微;
当(x,y)≠(0,0)时,
则
因为
不存在,所以f'
x(x,y)在点(0,0)处不连续,同理f'
y(x,y)在点(0,0)处也不连续,选C.
9. 设
则F(x)______
A B C D
A
[解析] 因e
sinxsinx是以2π为周期的周期函数,所以
又e
sinxcos
2x≥0,故选(A).
10. 设积分区域D={(X,y)||x|+|y|≤1),则二重积分
的值等于______
A.1.
B.
C.2.
D.
A B C D
D
[解析] 由于
而其中后三个二重积分中的被积函数分别是关于x或关于y的奇函数,且积分区域D分别关于y轴或x轴对称,如图.
故后三个二重积分的积分值都是零.在第一个二重积分中被积函数1-|x|-|y|分别关于x或y是偶函数,利用积分区域D分别关于x轴与y轴的对称性可得原二重积分
其中D
1是区域D在第一象限部分,即D
1={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤1)={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1-x),故
即应选D.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设随机变量X1,X2,…,Xm+n(m<n)独立同分布,其方差为σ2,令Z=求:1. D(Y),D(Z).
解:因为X
1,X
2,…,X
m+n相互独立,所以
2. ρ
YZ.
解:Cov(Y,Z)=Cov[(X
1+…+X
m)+(X
m+1+…+X
n),X
m+1+…+X
m+n]
=Cov(X
1+…+X
m,X
m+1+…+X
m+n)+Cov(X
m+1+…+X
n,X
m+1+…+X
m+n)
=D(X
m+1+…+X
n)+Cov(X
m+1+…+X
n,X
n+1+…+X
m+n)
=(n-m)σ
2 则
3. 设A是n阶矩阵,r(A)=n-r.又Ax=b有α
1,α
2,…,α
r,α
r+1共r+1个线性无关解.
证明Ax=b的任一解均可由α
1,α
2,…,α
r,α
r+1线性表出.
证:由解的性质知,αr+1-α1,αr+1-α2,…,αr+1-αr是对应齐次方程Ax=0的r个解.
令k1(αr+1-α1)+k2(αr+1-α2)+…+kr(αr+1-αr)=0,即
(k1+k2+…+kr)αr+1-(k1α1+k2α2+…+krαr)=0
因α1,α2,…,αr,αr+1线性无关,得k1=k2=…=kr=0,故知αr+1-α1,αr+1-α2,…,αr+1-αr,是Ax=0的r个线性无关解,又因r(A)=n-r,故知是Ax=0的基础解系,从而Ax=b的通解是
l1(αr+1-α1)+l2(αr+1-α2)+…+lr(αr+1-αr)+αr+1=-l1α1-l2α2-…-lrαr+(l1+l2+…+lr)αr+1.
即Ax=b的任一解均可由α1,α2,…,αr,αr+1线性表出.
4. 甲、乙两人比赛射击,每个射击回合中取胜者得1分,假设每个射击回合中,甲胜的概率为α,乙胜的概率为β(α+β=1),比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者最终获胜.求甲、乙最终获胜的概率.比赛是否有可能无限地一直进行下去?
解:设A={甲最终获胜},B={乙最终获胜}.在前两次比赛中,若“甲连胜两个回合”,记为C
1,则P(A|C
1)=1;若“乙连胜两个回合”,记为C
2,则P(A|C
2)=0;若“甲、乙各胜一个回合”,记为C
3,则前两个回合打平,从第三回合起,比赛相当于从头开始一样,所以
P(A|C
3)=P(A).
显然
P(C
1)=α
2,P(C
2)=β
2,P(C
3)=2αβ,
由全概率公式
P(A)=P(A|C
1)P(C
1)+P(A|C
2)P(C
2)+P(A|C
3)P(C
3)
=α
2+0+2αβ(A)
得
同理有
P(B)=P(B|C
1)P(C
1)+P(B|C
2)P(C
2)+P(B|C
3)P(C
3)
=0+β
2+2αβP(B),
可得
因
所以以概率为1地相信:比赛不会无限地一直进行下去,或甲最终获胜,或乙最终获胜.
5. 判别级数
的敛散性.
解:
设
则
又
f(x)单调减少。因此级数
满足莱布尼茨判别法条件,是条件收敛的.
但级数
发散.因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数,故原级数发散.
[解析] 这是交错级数,易见:|un|→0,但|un|≥|un+1|不成立,莱布尼茨判别法失效.分母有理化后,可判定.
6. 求微分方程(y-x
3)dx-2xdy=0的通解.
解:由(y-x
3)dx-2xdy=0,得
即原方程的通解为
(其中C为任意常数).
7. 求幂级数
解:由
,得收敛半径R=+∞,该幂级数的收敛区间为(-∞,+∞),
令
,
则