一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设当x∈(0,+∞)时
,则在(0,+∞)内______
- A.f'(x)与f'(x)都无界.
- B.f(x)与f'(x)都有界.
- C.f(x)有界,f'(x)无界.
- D.f(x)无界,f'(x)有界.
A B C D
C
[解析]
,所以存在δ>0,当0<x<δ时f(x)有界.又因
,所以存在X>0,当X<x<+∞时f(x)有界.又因f(x)在区间[δ,X]上连续,所以f(x)在[δ,X]上有界.综合之,f(x)在(0,+∞)上有界.
,函数
在区间(0,1)上无界,所以f'(x)在区间(0,+∞)上无界.选C.
3. 函数项级数
的收敛域为______
- A.(-1,1)
- B.(-1,0)
- C.[-1,0]
- D.[-1,0)
A B C D
D
[解析] 因
令
原级数为
而
故
又因
时,
发散.而
时,
收敛,从而
的收敛域为
又因
即
所以[-1,0)为原级数
的收敛域.
4. 实二次型
经正交变换后化为
,则______
- A.a=0,b=0.
- B.a=0,b=1.
- C.a=1,b=0.
- D.a=1,b=1.
A B C D
A
[解析]
相似,
∴
,得|A|=-(a-b)
2=0,于是a=b,排除B,C;而当a=b=0时,A的特征值是0,1,2,选A,排除D.
6. 考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:
①f(x,y)在点(x
0,y
0)处连续;
②f(x,y)在点(x
0,y
0)处的两个偏导数连续;
③f(x,y)在点(x
0,y
0)处可微;
④f(x,y)在点(x
0,y
0)处的两个偏导数存在.若用
表示可由性质P推出性质Q,则有______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 本题考查下图中因果关系的认知:
7. 设A是n阶矩阵,下列命题错误的是______.
- A.若A2=E,则-1一定是矩阵A的特征值
- B.若r(E+A)<n,则-1一定是矩阵A的特征值
- C.若矩阵A的各行元素之和为-1,则-1一定是矩阵A的特征值
- D.若A是正交矩阵,且A的特征值之积小于零,则-1一定是A的特征值
A B C D
A
[解析] 若r(E+A)<n,则|E+A|=0,于是-1为A的特征值;
若A的每行元素之和为-1,则
根据特征值特征向量的定义,-1为A的特征值;若A是正交矩阵,则A
TA=E,令AX=λX(其中X≠0),则X
TA
T=λX
T,于是X
TA
TAX=λ
2X
TX,即(λ
2-1)X
TX=0,而X
TX>0,故λ
2=1,再由特征值之积为负得-1为A的特征值,选A.
8. 设某产品的成本函数C(Q)可导,其中Q为产量,若产量为Q
0时平均成本最小,则______
- A.C'(Q0)=0
- B.C'(Q0)=C(Q0)
- C.C'(Q0)=Q0C(Q0)
- D.Q0C'(Q0)=C(Q0)
A B C D
D
[解析] 平均成本函数
其取最小值时,则导数为零,即
从而C'(Q
0)Q
0-C(Q
0)=0,即C'(Q
0)Q
0=C(Q
0).
10. 设
则f(x,y)在点(0,0)处______
- A.函数连续但偏导数不存在.
- B.偏导数存在但函数不连续.
- C.函数连续,偏导数也存在,但不可微.
- D.函数可微.
A B C D
D
[解析] 直接考虑
若上式为0,则说明当
时,
f(x,y)-f(0,0)=0·x+0·y+o(ρ),
符合f(x,y)在点(0,0)处可微的定义.为此,考查:
由夹逼定理知
.选D.
二、填空题1. 设
则与直线2x+y=1垂直的曲线y(x)的切线方程为______.
[解析] 由已知得
由于曲线y(x)切线的斜率应为
当x<0时,
无解.
当x≥0时,
由此得切点为P(1,ln2).
所求切线方程为
2. 微分方程y"-3y'+2y=xe
x的通解为y=______.
,其中C
1,C
2为任意常数
[解析] 对应的齐次方程的通解为Y=C
1e
x+C
2e
2x,设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)e
x,代入原方程,得
,所以通解如答案所示.
3. 已知离散型随机变量X的可能取值为-1,0,1,且EX=0.1,DX=0.89,则D(X
2)=______.
0.09
[解析] 设对应于-1,0,1的概率分别为p
1,p
2,p
3,则p
1+p
2+p
3=1.
由于EX=-p
1+p
3=0.1.又因为
E(X
2)=(EX)
2+DX=0.1
2+0.89=0.9,
故p
1+p
3=0.9,所以得
p
1=0.4,p
2=0.1,p
3=0.5.
因此可以得到X的分布列为
进而得到X
2的分布列为
所以D(X
2)=0.09.
4. 函数f(x)=cosx展开成
的幂级数为______.
[解析]
5. 设
B是3阶非零矩阵,且AB=O,则Ax=0的通解是______.
k[-1,1,0]T,k为任意常数
[解析] 由于A为4×3矩阵,AB=O,且B≠O,我们得知r(A)<3,对A作变换
由r(A)<3,有a=1.
当a=1时,求得Ax=0的基础解系为[-1,1,0]
T,因此通解为k[-1,1.0]
T,k为任意常数.
6. 设
交换积分次序后I=______.
[解析] 积分域D为:e
x≤y≤e
2x,0≤x≤1.曲线y=e
2x,y=e
x与直线x=1的交点分别为(1,e
2)与(1,e).故
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设函数f(u)有连续的一阶导数,f(2)=1,且函数
满足
①
求z的表达式.
解:将
代入式①,注意到f中的变元实际是一元
所以最终有可能化为含有关于f(u)的常微分方程.
代入式①,得
f'(u)(1-u
2)+2f(u)=u-u
3, ②
其中
且u>0.由式②有
③
初值条件是u=2时f=1.微分方程的解应该是u的连续函数,由于初值条件给在u=2处,所以f的连续区间应是包含u=2在内的一个开区间.
解式③得通解
再以f(2)=1代入,得C=-3,从而得
设随机变量U在[-2,2]上服从均匀分布,记随机变量
求:2. Cov(X,Y),并判定X与Y的独立性.
解:X,Y的全部可能取值都为-1,1,且
所以(X,Y)的分布律及边缘分布律为
从而
3. D[X(1+Y)].
解:D[X(1+Y)]=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X,XY)
=DX+D(XY)+2E(X
2Y)-2EXE(XY). ①
其中
此外,由于XY及X
2Y的分布律分别为
所以
将②~⑥代入①得
4. 设
问a,b,c为何值时,矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解.
解:令X=(X
1,X
2,X
3),B=(β
1,β
2,β
3),方程组AX=B等价于
则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(
),
由r(A)=r(
)得a=1,b=2,c=-2,此时
AX
1=β
1的通解为
AX
2=β
2的通解为
AX
3=β
3的通解为
则
其中k
1,k
2,k
3为任意常数.
5. 设函数f(x,y)在D上连续,且
其中D由
,x=1.y=2围成,求f(x,y).
[解析] 这是一道综合题目,表面看来很复杂.只要分析清楚了并不难.首先可以知道积分
是一个常数,因此
变为
两边再求二重积分就可以解决了.
设α1,α2与β1,β2为三维列向量组,且α1,α2与β1,β2都线性无关.6. 证明:至少存在一个非零向量可同时由α
1,α
2和β
1,β
2线性表示.
解:因为α1,α2,β1,β2为4个3维的向量,一定线性相关,于是存在一组不全为零的数k1,k2,l1,l2,使得
k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0,
即
k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2,
令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2,因α1,α2与β1,β2都性无关,所以k1,k2与l1,l2都不全为零,所以γ≠0.
7. 设
,求出可由两组向量同时表示的向量.
解:令k
1α
1+k
2α
2+l
1β
1+l
2β
2=0.
所以
所以,
,其中C≠0.
设f(u)连续,8. 将直角坐标系xOy中的累次积分
化为极坐标系(r,θ)中的累次积分.
解:将累次积分表成
由累次积分限知,D:0≤x≤2,x≤y≤
,如图(a).在极坐标变换下,x=2的极坐标方程是
,y=x对应
.于是D的极坐标表示是
于是将I化为极坐标系中的累次积分得
9. 求
,其中D(t)={(x,y)|x
2+y
2≤xt}.
解:积分区域D(t)(t>0)为圆域,如图(b),即
由二重积分中值定理
(ξ,η)∈D(t),使得
注意,t→0+时(ξ,η)→(0.0).于是