一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设y(x)是微分方程y"+(x-1)y'+x
2y=e
x满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的解,则
______.
A B C D
A
[解析] 微分方程y"+(x-1)y'+x
2y=e
x中,令x=0,则y"(0)=2,于是
,选A.
3. 设α
1,α
2,α
3,β
1,β
2都是四维列向量,且|A|=|α
1,α
2,α
3,β
1|=m,|B|=|α
1,α
2,β
2,α
3|=n,则|α
3,α
2,α
1,β
1+β
2|为______.
A B C D
D
[解析] |α3,α2,α1,β1+β2|=|α3,α2,α1,β1|+|α3,α2,α1,β2|
=-|α1,α2,α3,β1|-|α1,α2,α3,β2|
=-|α1,α2,α3,β1|+|α1,α2,β2,α3|=n-m,选D.
5. 设
等于______
A.0
B.1
C.
D.-1
A B C D
A
[解析] 由
故选A.
6. 设连续函数F(x)是分布函数,且F(0)=0,则也必可以作为新分布函数的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 法一 应用分布函数的必要条件排除,由于G
i(x)(i=1,2,3,4)是分段函数形式,x=1是分界点,于是立即想到要判断
是否成立.因为0≤F(1)≤1,经计算得
.利用排除法,可得正确选项为C.
法二 直接验证C.
单调不减(单调不减+单凋不减);(G
3(+∞)=F(+∞)-F(0)=1,G
3(-∞)=0.满足分布函数的充要条件,故选C.
7. 某商品的需求量x对价格p的弹性η=-3p
3,市场对该商品的最大需求量为1(万件),则需求函数x=______
- A.e-p3+1
- B.e-p3+1
- C.e-p3
- D.Ce-p3
A B C D
C
[解析] 由弹性公式
即
,两边积分并整理得x=Ce
-p3.
由x|
p=0=1得C=1,故所求需求函数x=e
-p3.
8. 设
则有______
- A.I1<I2<I3
- B.I3<I2<I1
- C.I2<I3<I1
- D.I2<I1<I3
A B C D
D
[解析] 首先,由
可得,I
2<I
1.
其次,
其中
故I
3>I
1,从而I
2<I
1<I
3,故选D.
9. 设分块矩阵
可逆,且
,其中A
i(i=1,2)为n×n矩阵,α
i(i=1,2)为n×1矩阵,β
i(i=1,2)为1×n矩阵,λ为实数,则λ=______
A.1
B.β
1A
-1α
1 C.
D.
A B C D
C
[考点] 分块矩阵的运算.
[解析] 由可逆矩阵定义及分块矩阵乘法运算法则有
,
即有
由式(4)得
由式(2)得A
1α
2=-α
1λ,代入式(5),有
,
即
,应选C.
10. 若级数
收敛,则______
A.
必收敛.
B.
未必收敛.
C.
必发散.
D.
.
A B C D
B
[解析] 设a
n=(-1)
n,显然
收敛,但
发散,且
.又设a
n=
,显然也有
收敛,且
收敛.所以
既可以是发散的也可以是收敛的,故选B.
评注:此题若改为
收敛且a
n≥0或
收敛且
=0则应选A.
二、填空题1. 设a为常数,[x]表示不超过x的最大整数,又设
存在,则a=______,上述极限值=______.
-2;2
[解析] [x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-π]=-4.所以
.
因此对于所讨论的极限应分x→0
-与x→0
+讨论.
所以当且仪当a=-2时上述极限存在,该极限值为2.
2.
[解析]
4. f(x
1,x
2,x
3,x
4)=X
TAX的正惯性指数是2,且A
2-2A=O,该二次型的规范形为______.
[解析] A
2-2A=0
r(A)+r(2E-A)=4
A可以对角化,λ
1=2,λ
2=0,又二次型的正惯性指数为2,所以λ
1=2,λ
2=0分别都是二重,所以该二次型的规范形为
.
5. 已知β=(0,2,-1,a)
T可以由α
1=(1,-2,3,+4)
T,α
2=(0,1,-1,1)
T,α
3=(1,3,a,1)
T线性表出,则a=______.
2
[解析] 设x
1α
1+x
2α
2+x
3α
3=β,对(α
1,α
2,α
3β)作初等行变换,有
当a≠2时r(α
1,α
2,α
3)≠r(α
1,α
2,α
3β),β不能由α
1,α
2,α
3线性表出,故a=2.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设函数f(t)满足
,求f(t).
解:
得积分方程为
方程两边求导
从而有
f'(t)+ae
t-f(t)+f
3(t)=ae
t,即f'(t)=f(t)-f
3(t)=f(t)[1-f
2(t)].
由
得
由f(0)=a,得
故当a≠1时,
即
当a=1时,f(t)=1.
2. 设f(x)在[a,b]上有定义,且对[a,b]上任意两点x,y有|f(x)-f(y)|≤|x-y|,则f(x)在[a,b]上可积,且
解:对于任意的x∈(a,b),因为|Δy|=|f(x+Δx)-f(x)|≤|Δx|,故有
,因而f(x)在[a,b]上连续,于是f(x)在[a,b]上可积.
又由题设知|f(x)-f(a)|≤|x-a|=x-a(x≥a),
即 f(a)-(x-a)≤f(x)≤f(a)+(x-a).
由定积分性质,有
即
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为3. 求随机变量X,Y的边缘密度函数.
解:
当x≤0时,f
X(x)=0;
当x>0时,
则
当y≤0时,f
Y(y)=0;
当y>0时,
则
4. 判断随机变量X,Y是否相互独立.
解:因为f(x,y)=fX(x)fY(y),所以随机变量X,Y相互独立.
5. 求随机变量Z=X+2Y的分布函数和密度函数.
解:F
Z(z)=P(Z≤x)=P(X+2Y≤x)=
当z≤0时,F
Z(z)=0;
当z>0时,
则
6. 高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足
,已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0.9,问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是cm,时间单位为h)?
解:t时刻雪堆体积
,
侧面积
,根据题意得
因为h(0)=130,所以C=130,则
,令
,得t=100,即经过100小时全部融化.
7. 求微分方程
的通解.
解:应先用三角公式将自由项写成
e
-x+e
-xcosx,
然后再用叠加原理用待定系数法求特解.
对应的齐次方程的通解为
y=(C
1cosx+C
2sinx)e
-x.
为求原方程的一个特解,将自由项分成两项:e
-x,e
-xcosx,分别考虑
y"+2y'+2y=e
-x, ①
与y"+2y'+2y=e
-xcosx. ②
对于①,令
代入可求得A=1,从而得
对于②,令
代入可求得B=0,
由叠加原理,得原方程的通解为
其中C
1,C
2为任意常数.
8. 设A是m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足
.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
证:因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,设为ξ1,ξ2,…,ξn-r.
设η0为方程组AX=b的一个特解,
令β0=η0,β1=ξ1+η0,β2=ξ2+η0…,βn-r=ξn-r+η0,显然β0,β1,β2,…,βn-r为方程组AX=b的一组解.
令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0,即
(k0+k1+…+kn-r)η0+k1β1+k2β2+…+kn-rβn-r=0,
上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0,
因为b为非零列向量,所以k0+k1+…+kn-r=0,于是
k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0,
注意到ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关,所以k1=k2=…=kn-r=0,
故β0,ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关,即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设ξ1,ξ2,…,ξn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解,
令γ1=β2-β1,γ2=β3-β1,…,γn-r+1=βn-r+2-β1,根据定义,易证γ1,γ2,…,γn-r+1线性无关,又γ1,γ2,…,γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的,所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.