一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 下述结论不正确的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 下面来证明C不正确.
对于第2个积分,作变量变换,命x=π+t,当x=π时t=0;x=2π时t=π,于是
评注:(1)考察积分
时,在区间[0,2π]上,被积函数
有正有负,应将[0,2π]划分成两个区间,使
正、负分清,然后再用积分变量变换,将两个积分的上、下限化成为相同,然后合并考察被积函数的符号,一般就可断定该积分的值的符号了,这是处理积分不等式的一个常用办法,如本题C.
(2)下面证明A、B、D都正确.
对于A,将1也写为0到
的一个积分
,于是
记
所以当
时
(x)<0,从而
,A正确.
对于B,由于被积函数为以2π为周期的偶函数,所以
对后一积分作积分变量变换x=π-t,于是当
时
;x=π时t=0.
于是
,B正确.
对于D,将在边1也写成积分:
,为证
,只要证明在区间
上
.命
,
有
,所以当
时
(x)>0.于是
.证毕.
以上证明中A与D用的是同一个方法,B与C是另一个方法,这些方法希望读者掌握.
3. 设y=y(x)是方程x
2y+e
2y=1+sin(x+y)确定的隐函数,且y(0)=0,则y"(0)=______
A B C D
B
[解析] 将x
2y+e
2y=1+sin(x+y)看成关于x的恒等式,两端对x求导数得
2xy+x
2y'+e
2y·2y'=cos(x+y)·(1+y') (*)
把x=0,y(0)=0代入上式可得
2y'(0)=1+y'(0)
y'(0)=1.
将(*)看成关于x的恒等式,两端再对x求导数又得
2y+4xy'+x2
y"+e
2y·(2y')
2+e
2y·2y"=-sin(x+y)·(1+y')
2+cos(x+y)·y",
把x=0,y(0)=0,y'(0)=1代入上式可得
4+2y"(0)=y"(0)
y"(0)=-4.
故应选B.
5. 设f(x,y)为连续函数,则使
成立的充分条件是______
- A.f(-x,-y)=-f(x,y)且f(-x,y)=f(x,y)
- B.f(-x,-y)=f(x,y)
- C.f(-x,-y)=-f(x,y)
- D.f(-x,y)=f(x,y)且f(x,-y)=f(x,y)
A B C D
D
[解析] 若f(x,y)关于x为偶函数,关于y也是偶函数,记D
1为x
2+y
2≤1的第一象限部分,则有
,故选D.
本题考查的知识点是:二重积分的计算.
6. 矩阵
与______相似.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 矩阵相似的判别.
[解析] 利用矩阵相似的必要条件排除A、B、C;或者直接判别题目中矩阵与D都与同一个对角阵相似.
解:令矩阵A=
,则A的特征值为1和2.
而A选项中矩阵的特征值为-1和-2,故矩阵A不与A选项的矩阵相似.
又因为
=2,而B选项中
=0,C选项中
=-2,故矩阵A不与B、C选项的矩阵相似.
所以,矩阵A与D选项的矩阵相似.
事实上,
和
均与对角阵
相似.再由相似的传递性,
和
相似.
故应选D.
本题出错的主要原因是在解题思路上,很多考生不会用相似的必要条件来判别矩阵不相似,从而无法排除A、B、C三个选项.
7. 设随机变量X,Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(1,1),则______.
A.P(X+Y≤0)=
B.P(X+Y≤1)=
C.P(X-Y≤0)=
D.P(X-Y≤1)=
A B C D
B
[解析] X,Y独立,X~N(0,1),Y~N(1,1),X+Y~N(1,2)
,所以选B.
9. 下列条件不一定能推出EX=0的是______
- A.连续型随机变量X的概率密度f(x)满足f(-x)=f(x).
- B.连续型随机变量X满足P{X≤x}=P{X≥-x},x∈R.
- C.随机变量的期望、方差都存在且E(X2)=0.
- D.随机变量的期望、方差都存在且DX=0.
A B C D
D
[解析] A选项,由
则EX=0成立.
B选项,由P{X≤x}=P{X≥-x},x∈R,得到F(x)=1-F(-x),两边求导得
f(x)=-f(-x)×(-1),即f(x)=f(-x),
则EX=0成立.
C选项,E(X
2)=DX+(EX)
2=0,又DX≥0,故(EX)
2=0,则EX=0也成立.
D选项,若随机变量X取常数C,则有DX=0,但EX=C不一定为0.
选D.
10. 若f(x)在(a,b)内单调有界,则f(x)在(a,b)内间断点的类型只能是______
- A.第一类间断点
- B.第二类间断点
- C.既有第一类间断点也有第二类间断点
- D.结论不确定
A B C D
A
[解析] 不妨设f(x)单调增加,且|f(x)|≤M,对任一点x
0∈(a,b),当
时,f(x)随着x增加而增加且有上界,故
存在;当
时,f(x)随着x减小而减小且有下界,故
存在,故x
0只能是第一类间断点.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设f(x)在[a,b]上连续且严格单调增加.证明:
证:令
则
因为a≤x≤t,且f(x)在[a,b]上严格单调增加,所以f(x)-f(t)≤0,于是有
即F(t)单调递减,又F(a)=0,所以F(b)<0,即
即
2. 求(y
3-3xy
2-3x
2y)dx+(3xy
2-3x
2y-x
3+y
2)dy=0的通解.
解:将原给方程通过视察分项组合.
(y
3-3xy
2-3x
2y)dx+(3xy
2-3x
2y-x
3+y
2)dy
=(y
3dx+3xy
3dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x
3ydx+x
3dy)+y
2dy
=0,
即
所以通解为
其中C为任意常数.
3. 设f(x)在[a,b]上连续且单调减少.证明:当0<k<1时,
.
证:方法一
其中ξ
1∈[0,k],ξ
2∈[k,1].因为0<k<1且f(x)单调减少,
所以
方法二
当x∈[0,1]时,因为0<k<1,所以kx≤x,
又因为f(x)单调减少,所以f(kx)≥f(x),两边积分得
,
故
4. 确定常数a,b,c的值,使得当x→0时,e
x(1+bx+cx
2)=1+ax+o(x
3).
解:
5. 设f(x)在区间
上存在连续的一阶导数,在开区间
内存在二阶导数,并设
.证明:存在
,使f'(ξ)+f"(ξ)tanξ=0.
证:证明存在
,使f'(ξ)+f"(ξ)tanξ=0,即
由于当
时,cosξ≠0.所以欲证上式成立,等价于证明f'(ξ)cosξ+f"(ξ)sinξ=0,即
[f'(x)sinx]'|
x=ξ=0.
作辅助函数
φ(x)=f'(x)sinx,
证明φ(x)在区间
上满足罗尔定理条件.由题设
,f(x)在
上连续且有连续的一阶导数,故知存在
,使f'(η)=0,于是有φ(η)=0.又显然,有φ(0)=f'(0)sin0=0.
φ(x)在区间[0,η]上连续,在(0,η)内存在一阶导数,再由罗尔定理知,存在
,使φ'(ξ)=0,即
f"(ξ)sinξ+f'(ξ)cosξ=0.
证毕.
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式
[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x,y)的全微分.6. 求f(x).
解:由题意知,
du=[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x
2y]dy.
即
由于f(x)具有一阶连续导数,所以u的二阶混合偏导数连续,所以有
即有x(1+2y)-f(x)=f'(x)+2xy,
f'(x)+f(x)=x.
连同已知f(0)=0,可求得f(x)=x-1+e
-x.
7. 求u(x,y)的一般表达式.
解:由第一小题知du=(xy
2+y-ye
-x)dx+(x-1+e
x+x
2y)dy.
求u(x,y)有多种方法.
法一 凑微分法.
所以
(C为任意常数).
法二 偏积分法,由
于是
其中h
1(y)为y的任意可微函数,再由
,得
x
2y+x+e
-x+h
'1(y)=x-1+e
-x+x
2y,
于是h
'1(y)=-1,h
1(y)=-y+C(C为任意常数).于是