一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设A为m×n矩阵,下列命题中正确的是
- A.若A中有n阶子式不为零,则Ax=0仅有零解.
- B.若A中有n阶子式不为零,则Ax=b必有唯一解.
- C.若A中有m阶子式不为零,则Ax=0仅有零解.
- D.若A中有m阶子式不为零,则Ax=b必有唯一解.
A B C D
A
[解析] A是m×n矩阵,若A中有n阶子式不为零,而A中又不存在n+1阶子式,故必有r(A)=n.同理,若A中有m阶子式不为零,则必有r(A)=m,本题就是考查秩与方程组解之间的关系.
对于(A),因为r(A)=n,而Ax=0是n个未知数的齐次方程组,所以Ax=0必只有零解.
关于B,当r(A)=n时,增广矩阵
的秩有可能是n+1,所以Ax=b可能无解.即B不正确.为此,请思考下例
有r(A)=2,r
=3,方程组无解.
至于C和D,r(A)=m说明A的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,所以r
=m.因此,方程组Ax=b必有解.但是否必有唯一解?Ax=0是否只有零解都是不确定的.
例如,
仅当m=n时,C、D才正确.
本题涉及矩阵的秩、向量组的秩的概念及相互关系,Ax=0及Ax=b解的理论.另外要注意的是,当A是m×n矩阵且r(A)=n时,不要误以为必有r
=n,因为r
=n+1是有可能的.
2. 设A,B为随机事件,且B
A考虑下列式子
①P(A+B)=P(A);
②P(AB)=P(B);
③P(B-A)=P(B)-P(A);
④P(B|A)=P(B),其中正确的个数为______
A B C D
B
[解析] 本题主要考查随机事件的运算,按相应的运算律求解即可.
解 因B
A,故A∪B=A,AB=B,B-A=
,从而
P(A∪B)=P(A),P(AB)=P(B),P(B-A)=0,可见①,②正确,③不正确.又由条件概率可得
故④不正确.
3. 已知3阶矩阵A有特征值λ
1=1,λ
2=2,λ
3=3,则2A
*的特征值是______
- A.1,2,3
- B.4,6,12
- C.2,4,6
- D.8,16,24
A B C D
B
[解析] 2A
*的特征值是
其中|A|=λ
1λ
2λ
3,λ
i是A的特征值.分别为1,2,3,故2A
*的特征值为4,6,12.
5. 设函数f(x)连续,在x
0可导,且
,f'(x
0)>2x
0,则存在δ>0,使得______
- A.函数f(x)-x2在(x0,x0+δ)内单调增加.
- B.函数f(x)-x2在(x0-δ,x0)内单调减少.
- C.对任意的x∈(x0,x0+δ)有f(x)>x2.
- D.对任意的x∈(x0-δ,x0)有f(x)>x2.
A B C D
C
[解析] 令g(x)=f(x)-x
2,由已知得g(x
0)=0,g'(x
0)>0,则
由极限的保号性,知存在δ>0,对任意的x∈(x
0,x
0+δ)有g(x)-g(x
0)=g(x)>A(x-x
0)>0,即f(x)>x
2.
7. 下列命题中错误的是______
A.
B.
C.
不一定发散
D.
A B C D
D
[解析] 由级数收敛的性质知命题A正确.
由反证法可知命题B正确.
若设
这两个级数都发散,但是
收敛,可知命题C正确,但命题D错误.
9. 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 设A={两件产品中有一件是不合格品},A
1={两件产品中一件是不合格品,另一件也是不合格品},A
2={两件产品中一件是不合格品,另一件是合格品},则
求概率P(A
1|A).
所以
故应选C.
10. 要使
都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵A为______
A.[-2,1,1]
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因[-2,1,1]ξ1=0,[-2,1,1]ξ2=0,故选(A).
二、填空题1. 设每次试验成功的概率为
,X表示首次成功需要试验的次数,则X取偶数的概率为______.
[解析] 由P{X=k}=(1-p)
k-1p(k=1,2,…)
得
2. 设
B≠O为三阶矩阵,且BA=O,则r(B)=______.
1
[解析] BA=O
r(A)+r(B)≤3,因为r(A)≥2,所以r(B)≤1,又因为B≠O,所以r(B)=1.
3. 幂级数
在收敛区间(-a,a)内的和函数S(x)为______.
4. 设曲线y=ax
3+bx
2+cx+d经过(-2,44),x=-2为驻点,(1,-10)为拐点,则a,b,c,d的值分别为______.
1,-3,-24,16
[解析] 由条件
解方程可得a=1,b=-3,c=-24,d=16.
5. f(x)=
sint
2dt,当x→0时,f(x)是x的n阶无穷小,则n=______.
6
[解析] 可用下述结论观察求出,也可利用n阶无穷小定义求出.
当f(x)连续且x→a时,f(x)是x→a的n阶无穷小量,g(x)是x-a的m阶无穷小量,则当x→a时,
必为x-a的n+1阶无穷小量,
必为x-a的(n+1)m阶无穷小量.
解一 因sinx
2是x-0=x的2阶无穷小量,1-cosx~x
2/2为x的2阶无穷小量,则x→0时,
为x的(2+1)×2=6阶无穷小量,即n=6.
解二
因而n=6.
6. 若
且x=at+b(a≠0),则
F(t)+C,其中C为任意常数
[解析] 因F'(x)=f(x),故F'(t)=f(t),于是
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设fn(x)=1-(1-cosx)n,求证:1. 对于任意正整数n,
在
中仅有一根.
证:因为f
n(x)连续,又有f
n(0)=1,
所以由介值定理知
使得
又因为
所以f
n(x)在
内严格单调减少.因此,满足方程
的根ξ是唯一的,即
在
中仅有一根.
2. 设有
满足
,则
证:因为
所以
由保号性知,
当n>N时,有
由f
n(x)的单调减少性质知
由夹逼准则知
3. 电话公司有300台分机.每台分机有6%的时间处于与外线通话状态,设每台分机是否处于通话状态相互独立,用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95?
解:令
则
令X表示需要使用外线的分机数,则
E(X)=300×0.06=18,D(X)=300×0.0564=16.92.
设至少需要安装n条外线,由题意及中心极限定理得
解得
n≥24.8,所以至少要安装25条外线才能保证每台分机需要使用外线时不需要等待的概率不低于0.95.
设齐次线性方程组(2E-A)x=0有通解x=kξ1=k(-1,1,1)T,其中k是任意常数,A是二次型f(x1,x2,x3)=xTAx对应的矩阵,且r(A)=1.4. 问η
1=(1,1,0)
T,η
2=(1,-1,0)
T是否是方程组Ax=0的解向量,并说明理由.
解:A是二次型对应的矩阵,故A
T=A.由(2E-A)x=0有通解x=kξ
1=k(-1,1,1)
T,知A有特征值λ=2,且A的对应于λ=2的线性无关的特征向量为ξ
1=(-1,1,1)
T.由r(A)=1,知λ=0是A的二重特征值.
Ax=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量,其应与对应于λ=2的特征向量正交.
因内积
,故η
1是Ax=0的解向量,即η
1是A的对应于λ=0的特征向量.
而内积
,故η
2不是Ax=0的解向量.
5. 求二次型f(x
1,x
2,x
3).
解:求二次型即求其对应的矩阵.
法一 求对应于λ=0的线性无关的特征向量.设为ξ=(x
1,x
2,x
3)
T,由
,解得ξ
2=η
1=(1,1,0)
T,ξ
3=(1,0,1)
T(ξ
2,ξ
3线性无关),则得
,
则
,
故二次型
法二 求对应于λ=0的正交的特征向量,设为ξ=(x
1,x
2,x
3)T,由
,解得ξ
2=(1,1,0)
T,ξ
4=(1,-1,2)
T,并将ξ
1,ξ
2,ξ
4单位化后合并成正交阵,有
则有
,
故二次型
6. 求
解:利用表格的形式:
7. 设
n=1,2,…,试求
的值.
解:令x=mπ-t.则
所以
记
因为
逐项求导,得
整理得
再次逐项求导,得
整理得
从而
设有特征向量8. 求A的对应于ξ
i(i=1,2,3)的特征值.
解:因ξ
1,ξ
2,ξ
3是A的特征向量,假设对应的特征值分别是λ
1,λ
2,λ
3,则有
由等式两端的第一个分量相等,得λ
1=0.
9. 求Ax=ξ
3的通解.
解:A是3×3的非零矩阵(a11=1≠0),r(A)≥1.
Aξ1=0,Aξ2=0,且ξ1,ξ2线性无关,所以r(A)≤1.则r(A)=1,ξ1,ξ2是Ax=0的基础解系.又因Aξ3=(-1)ξ3,故A(-ξ3)=ξ3,Ax=ξ3有特解-ξ3,从而Ax=ξ3的通解为k1ξ1+k2ξ2-ξ3,其中k1,k2是任意常数.
10. 求A.
解:法一 直接由题设条件解出未知的a
ij(i=2,3,j=1,2,3)从而求出A.
因r(A)=1,故(a
21,a
22,a
23)=k(1,-2,3),(a
31,a
32,a
33)=l(1,-2,3),即
两端第2个分量,第3个分量分别相等,得k=2,l=-2.
故
法二 利用A的相似对角矩阵求A.A有三个线性无关特征向量,取
其中