一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设A,B为随机事件,已知P(A)=
,P(B|A)=
,P(A|B)=
,则P(A∪B)=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 考查概率公式.
[解析] 利用条件概率公式及广义加法求概率.
解:P(AB)=P(A)P(B|A)=
,
由
.
则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=
.
故应选D.
2. 设A,B为随机事件,P(B)>0,则______
A.P(A∪B)≥P(A)+P(B).
B.P(A-B)≥P(A)-P(B).
C.P(AB)≥P(A)P(B).
D.P(A|B)≥
.
A B C D
B
[解析] 这是一道考查概率性质的选择题,应用概率运算性质知,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B),选项A不成立.P(A-B)=P(A)-P(AB)≥P(A)-P(B),故正确选项为B.而P(A|B)=
,所以D不成立.至于选项C,它可能成立也可能不成立,例如AB=
,P(A)>0,P(B)>0,则P(AB)=0<P(A)P(B);如果A
B,则P(AB)=P(A)≥P(A)P(B).
3. 设
,则f'(1)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
选B.
4. 设(X,Y)为二维连续型随机变量,则在下列各项公式都有意义的条件下
①f(x,y)=f
X(x)f
Y(y);
②
③
④
必定成立的个数为______
A B C D
A
[解析] ①需要独立条件才成立;
②应该为
③
④需要独立条件.
5. 两曲线
与y=ax
2+b在点
处相切,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因两曲线相切于点
故相交于该点.将x=2,
代入y=ax
2+b中得
又因为相切于该点,故切线斜率相等,即导数相等,所以
将x=2代入得
10. 已知α
1=[-1,1,a,4]
T,α
2=[-2,1,5,a]
T,α
3=[a,2,10,1]
T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量,则a的取值为______
- A.a≠5
- B.a≠-4
- C.a≠3
- D.a≠-3且a≠-4
A B C D
A
[解析] α
1,α
2,α
3是三个不同特征值的特征向量,必线性无关,由
知a≠5.故应选A.
二、填空题1. 设函数y=y(x)由方程e
x+y+cosxy=0确定,则
[解析] 方程两边同时对x求导,可得
解得
2. 已知随机变量X服从自由度为n的t分布,则随机变量X
2服从的分布是______.
F(1,n)
[解析] 因为X~t(n),令
,其中u~N(0,1),v~χ
2(n),且u,v相互独立,于是
,其中u
2~χ
2(1).
3. 设(ay-2xy
2)dx+(bx
2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分,则a=______,b=______.
4 -2
[解析] 令P(x,y)=ay-2xy
2,Q(x,y)=bx
2y+4x+3,
因为(ay-2xy
2)dx+(bx
2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分,
所以
,于是a=4,b=-2.
4. 设A,B均是二阶方阵,满足A~B,A有特征值λ=1,B有特征值μ=-2,则|A+2BA|=______.
18
[解析] A~B,则A,B有相同的特征值,故A,B有特征值1,-2.
又
|A+2BA|=|(E+2B)A|=|E+2B||A|,
其中|A|=1·(-2)=-2,E+2B有特征值3,-3,|E+2B|=-9,故
|A+2BA|=|E+2B||A|=(-2)·(-9)=18.
5. 若α
1,α
2,α
3是三维线性无关的列向量,A是三阶方阵,且Aα
1=α
1+α
2,Aα
2=α
2+α
3,Aα
3=α
3+α
1,则|A|=______.
2
[解析] 令P=(α
1,α
2,α
3),因为α
1,α
2,α
3线性无关,所以P可逆,
由
得
所以
6. 当x→0时,若有
,则A=______,k=______.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设X1,X2,…,Xn(n>2)是来自总体X~N(0,1)的简单随机样本,记Yi=Xi-(i=1,2,…,n).求:1. D(Y
i).
解:由
得
2. Cov(Y
1,Y
n).
解:因为X
1,X
2,…,X
n(n>2)相互独立,
所以
由
得
3. 设A为n×m矩阵,B为m×n矩阵(m>n),且AB=E.证明:B的列向量组线性无关.
证:首先r(B)≤min{m,n}=n,由AB=E得r(AB)=n,而r(AB)≤r(B),所以r(B)≥n,从而r(B)=n,于是B的列向量组线性无关.
设函数f(x)在区间(0,+∞)内有定义,且对于任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1).又设f'(1)存在且等于a,a≠1.4. 证明对任意的x∈(0,+∞),f'(x)存在,并求f'(x).
解:由于对任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有
f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1), (*)
于是当x∈(0,+∞)且|Δx|充分小时,有
又由(*)式,令y=1,有
f(x)=f(x)+f(1)+0,
所以f(1)=0.于是有
,
两边同时除以Δx,有
令Δx→0,两边取极限,得
5. 求f(x)的表达式.
解:将上式两边积分,得
f(x)=(a-1)lnx+x+C,
由f(1)=0,得C=-1,从而得
f(x)=(a-1)lnx+x-1(x>0,a≠1).
6. 求微分方程xy"+3y'=0的通解.
解:
设X与Y相互独立,且均服从(-1,1)上的均匀分布.7. 试求X和Y的联合分布函数.
解:X,Y的联合概率
当-1<x<1,-1<y<1时,
∴X、Y的联合分布函数为
8. 试求Z=X+Y的密度函数.
解:求Z的概率密度,用密度函数法.
图1
图2
图3
-1<x<1,-1<z-x<1,
-1<x<1,x-1<z<x+1,
ⅰ)-2<z<0,
ⅱ)0≤z<2,
ⅲ)在其他点,f
Z(z)=0.
9.
解: