一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设Ax=b有通解k
1ξ
1+k
2ξ
2+η=k
1(1,0,1)
T+k
2(-1,3,2)
T+(0,1,-1)
T.则下列向量中不是Ax=b的解向量的是______
- A.α1=(3,-5,-4)T.
- B.α2=(0,4,2)T.
- C.α3=(3,-2,-1)T.
- D.α4=(3,1,-4)T.
A B C D
D
[解析] 若α
i是Ax=b的解,α
i∈k
1ξ
1+k
2ξ
2+η,即方程组ξ
1x
1+ξ
2x
2+η=α
i 有解.
即 ξ
1x
1+ξ
2x
2=α
i-η 有解.将ξ
1,ξ
2,α
1-η,α
2-η,α
3-η,α
4-η合并成矩阵,并作初等行变换,得
显然α
4-η不能由ξ
1,ξ
2线性表出,即α
4不包含于k
1ξ
1+k
2ξ
2+η之中,应选D.
3. 设f(x)在x
0的邻域内三阶连续可导,且f'(x
0)=f"(x
0)=0,f'''(x
0)>0,则下列结论正确的是______
- A.x=x0为f(x)的极大值点.
- B.x=x0为f(x)的极小值点.
- C.(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.
- D.(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点.
A B C D
C
[解析] 由f'''(x)连续,f'''(x
0)>0,于是由保号定理,存在δ>0,当x
0-δ<x<x
0+δ时,f'''(x)>0.
|
(x0-δ,x0)
|
x0
|
(x0,x0+δ)
|
f'''(x)
|
+
|
+
|
+
|
f''(x)
|
-
|
0
|
+
|
f'(x)
|
+
|
0
|
+
|
f(x)
|
∩
|
拐点
|
病
|
(x
0,f(x
0))为曲线y=f(x)的拐点,选C.
4. 设lnx
n≤lnz
n≤lny
n(n=1,2,…),且
,则
______
- A.存在且等于1.
- B.存在且等于0.
- C.一定不存在.
- D.不一定存在.
A B C D
D
[解析] 举例说明
可以存在,可以不存在.
例如,取
,有
lnx
n≤lnz
n≤lny
n,
且
.但
(不存在).
又如,取
,有
lnx
n≤lnz
n≤lny
n 且
.而
存在.
6. A是n阶方阵,|A|=3.则|(A
*)
*|=______
- A.3(n-1)2
- B.3n2-1
- C.3n2-n
- D.3n-1
A B C D
A
[解析] |A|=3,A可逆,则
(A
*)(A
*)
*=|A
*|E,
|(A
*)
*|=||A
n-2A|=|A|
(n-2)n|A|=|A|
n2-2n+1=3
(n-1)2.
8. 若正项级数
收敛,级数
发散,则______
A.
必收敛
B.
必发散
C.
必收敛
D.
必发散
A B C D
10. 设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数,f(1)=f(2)=0,F(x)=(x-1)
2f(x),则F"(x)在(1,2)内______
- A.没有零点.
- B.至少有一个零点.
- C.有两个零点.
- D.有且仅有一个零点.
A B C D
B
[解析] F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)
2f'(x).
由f(1)=f(2)=0,F(1)=F(2)=0,由罗尔定理,存在c∈(1,2),使得F'(c)=0.
再根据F'(1)=F'(c)=0,再由罗尔定理,至少存在一个点ξ∈(1,c)
(1,2),使得F"(ξ)=0,选B.
二、填空题1. 数列
的最小项的项数n=______,且该项的数值为______.
5;
[解析] 设
,令y'=0,在所考虑的定义域内有唯一解x=5,当2<x<5时,y'<0,当x>5时,y'>0,故函数y在x=5处取极小值,也是最小值,最小值
本题考查的知识点是(函数)数列极值的求解.
2. 设
,B为三阶方阵,且r(B)=2,若r(AB)=1,则t=______.
3
[解析] 由题设有|A|=0,得t=3.
本题考查矩阵的秩的性质.
3. 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布,即
则随机变量Z=3X-2的数学期望EZ=______.
4. 已知A,B均是3阶矩阵,将A中第3行的-2倍加到第2行得矩阵A
1,将B中第1列和第2列对换得到B
1,又
则AB=______.
[解析]
5. 设随机变量X的密度函数为
则E(X)=______,D(X)=______.
1
6. 设
B为三阶矩阵,r(B
*)=1且AB=O,则t=______.
6
[解析] 因为r(B*)=1,所以r(B)=2,又因为AB=O,所以r(A)+r(B)≤3,从而r(A)≤1,又r(A)≥1,r(A)=1,于是t=6.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设f(x)在x
0处n阶可导.且f
(m)(x
0)=0(m=1,2,…,n-1),f
(n)(x
0)≠0(n≥2).证明:
(1)当n为偶数且f
(n)(x
0)<0时,f(x)在x
0处取得极大值;
(2)当n为偶数且f
(n)(x
0)>0时,f(x)在x
0处取得极小值.
证:n为偶数,令n=2k,构造极限
当f
(2k)(x
0)<0时,
当f
(2k)(x
0)>0时,
设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且满足等式2. 验证
解:求二元复合函数
的二阶偏导数
中必然包含f'(u)及f"(u),将
的表达式代入等式
中,就能找出f'(u)与f"(u)的关系式.
3. 若f(1)=0,f'(1)=1,求函数f(u)的表达式.
解:可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解.
在方程
中,令f'(u)=g(u),则f"(u)=g'(u),方程变为
这是可分离变量微分方程,解得
由初值条件f'(1)=1得C
1=1,所以,
两边积分得f(u)=lnu+C
2.
由初值条件f(1)=0得C
2=0,所以f(u)=lnu.
4. 令f(x)=x-[x],求极限
解:因为[x+m]=[x]+m(其中m为整数),所以f(x)=x-[x]是以1为周期的函数,又[x]≤x,故f(x)≥0,且f(x)在[0,1]上的表达式为
对充分大的x,存在自然数n,使得n≤x<n+1,则
而
所以
得
显然当x→+∞时,n→+∞,由夹逼定理得
5. 计算
其中
6. 求证:对任何0<|x|≤1,存在θ(x)∈(0,1),使得
.
证明:对任意0<|x|≤1,由拉格朗日中值定理得
(*)
其中ξ∈(0,x),则
,令
,则θ(x)∈(0,1),ξ=xθ(x)。(*)式可改写为
7. 求极限
。
解:由上小题可知
利用
,可得
根据θ(x)∈(0,1),知
[考点] 拉格朗日中值定理的应用和极限的求解。
8. 设总体X的概率分布为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
p | θ2 | 2θ(1-θ) | θ2 | 1-2θ |
是未知参数.用样本值3,1,3,0,3,1,2,3求θ的矩估计值和最大似然估计值.
解:E(X)=0×θ
2+1×2θ(1-θ)+2×θ
2+3×(1-2θ)=3-4θ,
令
得参数θ的矩估计值为
L(θ)=θ
2×[2θ(1-θ)]
2×θ
2×(1-2θ)
4=4θ
6(1-θ)
2(1-2θ)
4,
lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1-θ)+4ln(1-2θ),
令
得参数θ的最大似然估计值为