一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设
,则f(x)的不可导的点的个数______
A B C D
D
[解析]
f(x)的不可导的点首先应从|x(x+2)(x-2)|=0的点去考虑.取x=0,2,-2逐个讨论之.
所以f'(0)不存在.同理f'(2)也不存在.
f'(-2)存在.再考虑
内为零即x=4处.
f'(4)不存在.共有3处f'(x)不存在.选(D).
2. 设函数
,则f(x)在(-∞,+∞)内______
- A.处处可导
- B.恰有1个不可导点
- C.恰有2个不可导点
- D.至少有3个不可导点
A B C D
C
[解析] 当|x|<1时,
.
当|x|=1时,
.
当|x|>1时,
.
由夹逼定理
,即
即f
-'(1)=f'(1-0)=0≠3=f'(1+0)=f
+'(1),
f
-'(-1)=f'(-1-0)=-3≠0=f'(-1+0)=f
+'(-1).
因此y=f(x)在x=±1处有两个不可导点.应选C.
3. 设随机变量X
1,X
2,X
3相互独立,且X
1,X
2均服从N(0,1),
,则Y=X
1+X
2X
3的概率密度f
Y(y)为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
选B.
4.
A.
B.
C.-1
D.1
A B C D
D
[解析]
选D.
5. 设
,且a≠0,则数组(a,n)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 用泰勒公式展开最方便.
则
由条件知,要使当x→0时上式极限存在且不为0,则取n=2,此时
即
,n=2.选B.
8. 设数列{a
n}单调减少,
无界,则幂级数
的收敛域为______
- A.(-1,1]
- B.[-1,1)
- C.[0,2)
- D.(0,2]
A B C D
C
[解析] 本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念,是一道综合了多个知识点的考题.
因数列{a
n}单调减少,且
故根据莱布尼茨判别法知,交错级数
收敛,即幂级数
在x=0处条件收敛;
又
无界,所以幂级数
在x=2处发散;
综上,幂级数
的收敛域为[0,2),故答案应选(C).
9. 已知n阶矩阵A,B,C,其中B,C均可逆,且2A=AB
-1+C,则A=______.
A.C(2--B)
B.
C.B(2B-E)
-1C
D.C(2B-E)
-1B
A B C D
D
[解析] 解矩阵方程常先作恒等变形,其次要正确运用矩阵的运算法则.做乘法时,要说清楚是左乘还是右乘,特别要注意(A±B)
-1≠A
-1±B
-1.
仅D入选,由于2A=AB
-1+C,有
2A-AB
-1=C,且A(2E-B
-1)=C,
又C可逆,则
A(2E-B
-1)C
-1=E,
故A可逆,且得
A=[(2E-B
-1)C
-1]
-1=C(2B
-1B-B
-1)
-1 =C[B
-1(2B—E)]
-1=C(2B-E)
-1B.
[注意] 化简(2E-B
-1)
-1时常见下述错误:
(2E-B
-1)
-1-(2E)
-1-(B一1)
-1=
,
或(2E-B
-1)
-1=2E-B.
这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的,一定要防止这种错误!
二、填空题1. 设f(x)有一个原函数
,则
xf'(x)dx=______.
[考点] 定积分与原函数.
[解析] 利用定积分的分部积分法计算即可得结果.
解:
又因为
所以
故应填
.
若有的同学先求出
,原积分为
,再求此定积分,反而不容易确定积分方法,计算更复杂.
2. 设随机变量X和Y的数学期望是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式P(|X-Y|≥6)≤______.
3. 若
是(-∞,+∞)上的连续函数,则a=______.
1
[解析]
f(x)在零点处连续,可得
4. 差分方程
的通解为______.
C为任意常数,
[解析] 原方程即为
①
先解
再求
的特解.
令
,代入式①,得
矛盾.因此,要对
修正,令
,再代入式①
,得k=3.
∴
,(非齐特).
∴
,C为任意常数.
5. x
y=y
x,则y'=______.
[解析] 由x
y=y
x,得ylnx=xlny,两边求导数得
解得
6. 设对于事件A,B,C有
,P(AB)=P(BC)=0,
,则A,B.C三个事件至少出现一个的概率为______.
[解析]
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设
求
解:当x>1时,
当0≤x≤1时,
当x<0时,
因为f(x)在(-∞,1)内连续,所以
在(-∞,1)内存在,因而
在x=0处连续可导,因此
又因x=1为f(x)的第一类间断点,所以在包含x=1的区间内f(x)的原函数不存在,故
此处的C
1和C
2是两个相互独立的任意常数.
2. 设f(x)在区间[a,b]上为连续的单调增函数,证明:
证:令
有φ(a)=0及
由于f(x)在区间[a,b]上为单调增函数,所以当a≤t≤x时f(t)≤f(x),从而由②式知
再由φ(a)=0得φ(b)≥0.所以由①式有
证毕.
3. 设随机变量X,Y相互独立,且
Z=|X-Y|,求E(Z),D(Z).
解:令U=X-Y,因为X,Y相互独立,且
所以
设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶实对称矩阵,C为m×n矩阵.4. 计算P
TDP,其中
,E
m,E
n分别为m阶,n阶单位矩阵.
5. 利用上小题的结果判断矩阵.B-C
TA
-1C是否为正定矩阵,并说明理由.
解:矩阵B-C
TA
-1C是正定矩阵.
事实上,由|P|=1知矩阵P可逆,由上小题的结果可知,矩阵D合同于矩阵
又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵.
直接验算知B-C
TA
-1C为对称矩阵.
对x=(0,0,…,0)
T及任意的y=(y
1,y
2,…,y
n)
T≠0,有
故B-C
TA
-1C为正定矩阵.
[考点] 本题主要考查分块矩阵的运算以及正定矩阵的判定.第一问直接利用分块矩阵的运算法则进行计算;第二问是讨论抽象矩阵的正定性,一般用定义.
6. 设f(x)连续,
.求φ'(x),并讨论φ'(x)在x=0处的连续性.
解:当x≠0时,
当x=0时,
则
因为
,所以φ'(x)在x=0处连续.
7. 设f(x)在x
0处n阶可导,且f
(m)(x
0)=0(m=1,2,…,n-1),f
(n)(x
0)≠0(n>2).证明:当n为奇数时,(x
0,f(x
0))为拐点.
证:n为奇数,令n=2k+1,构造极限
当f
(2k+1)(x
0)>0时,
但x→x
0+时,f"(x)>0;x→x
0-时,f"(x)<0,故(x
0,f(x
0))为拐点.