一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.3. 设函数F(u,v)可微,且方程F(3x-z,3y-2z)=0确定隐函数z=z(x,y),则
=
A B C D
C
[解析] 将方程F(3x-z,3y-2z)=0两端求全微分就有0=F'
1·(3dx-dz)+F'
2·(3dy-2dz)=3F'
1 dx+3F'
2dy-(F'
1+F'
2)dz
从而
即应选C.
4. 设有2个袋子,各装r+b只球,其中红球r只,黑球b只.今从第1个袋子随机取一球,放入第2个袋子,再从第2个袋子再随机取一球.令
则______
- A.X1和X2独立,不同分布.
- B.X1和X2不独立,同分布.
- C.X1和X2独立,同分布.
- D.X1和X2不独立,不同分布.
A B C D
B
[解析] 由已知得X
1的分布为
X
2的分布是
因为
P{X
1=1,X
2=1}=P{X
1=1}P{X
2=1|X
1=1}
所以X
1,X
2不相互独立.
5. 设事件A,B互不相容,且0<P(A)<1,则有______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因为A,B互不相容,所以P(AB)=0,于是有
选B.
6. 设随机变量X的分布函数为
又知
,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由于分布函数F(x)是右连续函数,因此有F(-1+0)=F(-1).即
由于F(1)=P{X≤1}=P{X<1}+P{X=1},且P{X<1}=F(1-0)=a+b.
因此可得方程
解由①,②组成的关于a,b的二元一次方程组,可得a=5/16,b=7/16.因此应选A.
7. 设a为常数,
,则f(x)在区间(-∞,+∞)内______
- A.当a>0时f(x)无零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
- B.当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)无零点
- C.当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
- D.当a>0时f(x)恰有一个零点,当a≤0时f(x)无零点
A B C D
D
[解析] 本题考查一元微分学的应用,讨论函数的零点问题.
令
由于e
-x>0,g(x)与f(x)的零点完全一样,又
且仅在一点x=0等号成立,故g(x)严格单调增,所以g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
当a>0时,f(-∞)<0,f(+∞)>0,由连续函数零点定理,f(x)至少有一个零点,至少、至多合在一起,所以f(x)正好有一个零点.
当a≤0,
f(x)无零点.
10. 设当x→0时,f(x)=ax
3+bx与
等价,则______
A.
B.a=3,b=0
C.
D.a=1,b=0
A B C D
C
[解析] 由于
当b≠0时,该极限为∞,于是,b=0.
从而
二、填空题1. 设
在点(0,0)处连续,则a=______.
0
[解析] 因为
利用夹逼原理知,
.又知f(0,0)=a,则a=0.
2. 若
,则f(x)=______.
-sinx
[解析]
3. 设
=5,则
=______.
10ln3
[解析] 由所给极限及
(3
x-1)=0得到
,
从而
(x→0).
故
.
4. 设α,β为三维列向量,A=αβ
T,α
Tβ=3.则|E-A
n|=______.
1-3n
[解析] 因为βTα=(αTβ)T=3T=3,
故Aα=αβTα=3α.
即A的其中一个特征值为3,r(A)=1.故有特征值
λ1=λ2=0,λ3=3.
故An有特征值为0,0,3n,E-An的特征值为1,1,1-3n,故|E-An|=1-3n.
5. 假设随机变量X
1,X
2,X
3,X
4相互独立且都服从0-1分布:P{X
i-1}=p,P{X
i=0}=1-p(i=1,2,3,4,0<p<1),已知二阶行列式
的值大于零的概率等于
,则p=______.
[解析] 记
则p应使P{Δ>0}=P{X
1X
4-X
2X
3>0}=P{X
1X
4>X
2X
3}=
,由于X
i仅能取1或0,且相互独立,故事件{X
1X
4>X
2X
3}={X
1X
4=1,X
2X
3=0},
所以
=P{X
1=1,X
4=1,X
2=0,X
3=0}+P{X
1=1,X
4=1,X
2=0,X
3=1}+P{X
1=1,X
4=1,X
2=1,X
3=0}=p
2(1-p)
2+p
3(1-p)+p
3(1-p)=p
2(1-p
2)=p
2-p
4,
.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设线性方程组
λ为何值时,方程组有解,有解时,求出所有的解.
解:方程组是齐次线性方程组
因
故当λ≠-2,且λ≠2时,有唯一零解;
当λ=2时,有无穷多解,其解为
k
1[1,-1,0,0]
T+k
2[1,0,-1,0]
T+k
3[1,0,0,-1]
T;
当λ=-2时,方程为
有通解k[1,1,1,1]
T.
2. 设
,其中s,n是正整数,证明A
TA是实对称阵,并就正整数s,n的情况讨论矩阵A
TA的正定性.
证:(ATAT)=AT(AT)T=ATA,则ATA是实对称矩阵.
当s>n时,A的列向量组线性相关(向量个数s>向量的维数n),故Ax=0有非零解,即存在x≠0,使得Ax=0,从而使xTATAx=0,故当s>n时,ATA不是正定矩阵,
当s=n时,范德蒙德行列式|A|≠0,A是可逆矩阵,根据矩阵正定的充分必要条件,ATA是正定矩阵.
当s<n时,A的列向量组线性无关(当s=n时,A的列向量组线性无关,减少向量个数仍线性无关),Ax=0只有零解,即任给x≠0,均有Ax≠0,从而有(Ax)TAx=xTATAx>0,从而ATA是正定矩阵.
故当s≤n时,ATA是正定矩阵.
3.
,B
TB是否正定?说明理由.
证:因(BTB)T=BT(BT)T=BTB,则BTB是实对称矩阵.又|B|=10!|A|>0(其中A是第一小题中s=10,n=10的矩阵),故BTB是正定矩阵.
4. 已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α
1,α
2,…,α
t是Ax=0的基础解系,β不是Ax=0的解.证明任一n维向量均可由α
1,α
2,…,α
t,β线性表出.
证:因为矩阵A中各行元素对应成比例,故r(A)=1,因此t=n-1.
若k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1+lβ=0, ①
用A左乘上式,并把Aαi=0(i=1,2,…,n-1)代入,得
lAβ=0.
由于Aβ≠0,故l=0.于是①式为
k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1=0. ②
因为α1,α2,…,αn-1是基础解系,知α1,α2,…,αn-1线性无关.
从而由②知k1=0,k2=0,…,kn-1=0.
因此α1,α2,…,αn-1,β线性无关.
对任一n维向量γ,由于任意n+1个n维向量α1,α2,…,αn-1,β,γ必线性相关,那么γ必可由α1,…,αn-1,β线性表出.
5. 设二次方程x
2-Xx+Y=0的两个根相互独立,且都在(0,2)上服从均匀分布,分别求X与Y的概率密度.
解:设二次方程的两个根为X
1,X
2则它们的概率密度都为
记X的概率密度为f
X(x),则由X=X
1+X
2得
其中
即f(t)f(x-t)仅在如图1的带阴影的平行四边形中取值为
在tOx平面的其余部分取值为零.因此,
当x<0或x>4时,f
X(x)=0;
当0≤x<2时,
当2≤x≤4时,
即
记Y的概率密度为f
Y(y),则由Y=X
1X
2得
其中
即
仅在图2的带阴影的三角形中取值为
在tOy平面的其余部分取值都为零.因此,
当y≤0或y≥4时,f
Y(y)=0;
当0<y<4时,
即
图1
图2
设随机变量T为[-1,3]上的均匀分布,令
试求:6. (X,Y)的联合分布律.
解:X与Y都只可能取0,1.
则(X,Y)的联合分布律为
7. P{Y=0|X=1}.
解:由(X,Y)的联合分布律得到边缘分布律
故
8. 方差D(X-Y).
解:D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)
9. 设函数f(x)在0<x≤1时f(x)=x
sinx,其他的x满足关系式f(x)+k=2f(x+1),试求常数k使极限
存在.
解:因求“0
0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指函数u(x)
v(x)化为复合函数e
v(x)lnu(x),故
其中,通过等价无穷小替换与洛必达法则求得:
根据题设的关系式f(x)=2f(x+1)-k,得
由上述结果f(x)在x=0处右极限f(0
+)=1;而其左极限
由于极限
是存在的,故2-k=f(0
-)=f(0
+)=1,则常数k=1.