一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 下述命题:
①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f在(-∞,+∞)上连续;
②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(-∞,+∞)上有界;
③设f(x)在(-∞,+∞)上为正值的连续函数.则
在(-∞,+∞)上也是正值的连续函数;
④设f(x)在(-∞,+∞)上为正值的有界函数,则
在(-∞,+∞)上也是正值的有界函数.
其中正确的个数为______
A B C D
B
[解析] ①与③是正确的,②与④是不正确的,正确的个数为2.
①是正确的.理由如下:设x
0∈(-∞,+∞),则它必含于某区间[a,b]中.由题设f(x)在任意闭区间[a,b]上连续,故在x
0处连续,所以在(-∞,+∞)上连续.论证的关键是:函数f(x)的连续性是按点来讨论的.在区间上每一点连续,就说它在该区间上连续.
②是不正确的.函数f(x)在[a,b]上有界的“界”是与区间有关的,例如f(x)=x在区间[a,b]上,
,这个“界”与区间[a,b]有关,容易看出,在区间(-∞,+∞)上,f(x)=x就无界了.
③是正确的,理由如下:设x
0∈(-∞,+∞),f(x
0)>0且f(x)在x
0处连续,由连续函数的四则运算法则知,
在x
0处也连续,所以
在(-∞,+∞)上连续.
④是不正确的.例如函数f(x)=e
-x2,在区间(-∞,+∞)上,0<f(x)≤1.所以在(-∞,+∞)上f(x)有界.而
在(-∞,+∞)上显然无界.这是因为
.
5. 设A是n阶方阵,先交换A的第i列与第j列,然后交换A的第i行与第j行,得到的矩阵记为B.判断下述五种关系:
①|A|=|B|.
②R(A)=R(B).
③A与B等价.
④A与B相似.
⑤A与B合同.
上述判断正确的是______
- A.①,②.
- B.①,②,③.
- C.①,②,③,④.
- D.①,②,③,④,⑤.
A B C D
D
[解析] 由题设,有初等方阵E(i,j),且注意到[E(i,j)]-1=E(i,j),[E(i,j)]T=E(i,j),使得
E(i,j)AE(i,j)=B,
当然,
[E(i,j)]-1AE(i,j)=B,
[E(i,j)]TAE(i,j)=B.
于是①,②,③,④,⑤都正确,选D.
7. 当x→0时,e
x-(ax
2+bx+1)是比x
2高阶的无穷小,则______
A.
,b=1.
B.a=1,b=1.
C.
,b=-1.
D.a=-1,b=1.
A B C D
A
[解析] 因
,故
显然要使上式为x
2高阶的无穷小(x→0时),只要
即
故选A.
8. 设随机变量X与Y相互独立,且均服从正态分布N(0,1),则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 若记A={X≥0},B={Y≥0},则A与B相互独立,且P(A)=P(B)=
,故
因此选D.
本题考查的知识点是:随机变量组合的概率计算.
9. 设两个任意随机事件A,B,其概率都大于0且小于1,则下列事件中一定与事件A独立的是______
A.A∪B.
B.
C.A-B.
D.
A B C D
D
[解析] 因为
所以不能保证A与A∪B及A与A—B一定相互独立,从而排除A,C.
由于A,B任意,排除B.
不可能事件与任意事件都是相互独立的.
10. 设f(x,y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导,且在区域D内恒有条件
则______.
- A.f(x,y)的最大值点和最小值点都在D内
- B.f(x,y)的最大值点和最小值点都在D的边界上
- C.f(x,y)的最小值点在D内,最大值点在D的边界上
- D.f(x,y)的最大值点在D内,最小值点在D的边界上
A B C D
B
[解析] 若f(x,y)的最大点在D内,不妨设其为M
0,则有
,因为M
0为最大值点,所以AC-B
2非负,而在D内有
,即AC-B
2<0,所以最大值点不可能在D内,同理最小值点也不可能在D内,正确答案为B.
二、填空题1.
[解析]
2. 设
,则f(x)=______.
x+2
[解析]
∴f(x)=x-(-2)=x+2.
3.
-1
[解析]
4. 设A,B为三阶相似矩阵,λ
1=1,λ
2=-2为A的两个特征值,且B的行列式为1,则行列式|A+E|=______.
-1
[解析] ∵A,B相似,∴|A|=|B|,设λ
3为A的另一特征值,则
.
由于A有三个不同的特征值,必可对角化,即存在可逆矩阵P,使
于是
∴|A+E|=-1.
5. 设A是5阶方阵,且A
2=O,则r(A
*)=______.
0
[解析] 因
A2=AA=O,r(A)+r(A)≤5,r(A)≤2,
从而
A*=O,r(A*)=0.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 证明:当0<a<b<π时,bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
证:令F(x)=xsinx+2cosx+πx,只需证明F(x)在(0,π)上单调递增.
F'(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=π+xcosx-sinx,由此式很难确定F'(x)在(0,π)上的符号,为此有
F'(x)=-xsinx<0,x∈(0,π),即函数F'(x)在(0,π)上单调递减,又F'(π)=0,所以F'(x)>0,x∈(0,π),于是F(b)>F(a),即
bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
2. 设三元线性方程组有通解
求原方程组.
解:设非齐次线性方程为
ax
1+bx
2+cx
3=d,
由η
1,η
2是对应齐次解,代入对应齐次线性方程组
得解[-9k,-5k,3k]
T,即a=-9k,b=-5k,c=3k,k是任意常数,η=[1,-1,3]
T是非齐次方程解,
代入得
d=-b=5k,
故原放程是
9x
1+5x
2-3x
3=-5.
3. 一条曲线经过点(2,0),且在切点与y轴之间的切线长为2,求该曲线.
解:曲线在点(x,y)处的切线方程为Y-y=y'(X-x),
令X=0,则Y=y-xy',切线与y轴的交点为(0,y-xy'),
由题意得x
2+x
2y'
2=4,解得
,变量分离得
,积分得
因为曲线经过点(2,0),所以C=0,故曲线为
设求:4. φ(x)的定义域.
解:先求f(x)的定义域,即级数
的收敛域,显然是[-1,1].
从而f(1-x)的定义域是-1≤1-x≤1,即0≤x≤2,lnxln(1-x)的定义域是{x>0}∩{x<1}={0<x<1}.
综上可知函数φ(x)的定义域是(0,1).
5. φ'(x).
解:
6. 设z=z(x,y)是由x
2-6xy+10y
2-2yz-z
2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
解:方程x
2-6xy+10y
2-2yz-z
2+18=0两边对x和y求导,得
故得驻点坐标关系
将上式代入x
2-6xy+10y
2-2yz-z
2+18=0,可得两个驻点
由于
①对x求导得
②对x求导得
②对y求导得
得
故
又
从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点,极小值为z(9,3)=3.
类似地,由
可知
又
所以点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点,极大值为z(-9,-3)=-3.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且存在ξ∈(a,b),得f"(ξ)>0.证明:7. 若f'(ξ)=0,则存在x
1,x
2∈(a,b)且x
1<ξ<x
2,使得f(x
1)=f(x
2).
证:因为f"(ξ)>0,f'(ξ)=0,故ξ是f的极小值点.f在[a,ξ]上有最大值f(t1).同样f在[ξ,b]上也存在最大值f(t2).不妨设f(t1)≤f(t2),由连续函数的介值定理可得,存在x0∈[ξ,b],使得f(x0)=f(t1).即有x1=t1,x2=x0使得f(x1)=f(x2).
8. 若f'(ξ)≠0,则存在η
1<ξ<η
2,其中η
1,η
2∈(a,b),使得
证:由f'(ξ)≠0,令g(x)=f(x)-f'(ξ)x,则g'(ξ)=f'(ξ)-f'(ξ)=0.
于是g(x)符合(Ⅰ)的条件,即存在η
1,η
2∈(a,b)满足η
1<ξ<η
2,使得g(η
1)=g(η
2),即
将g(x)=f(x)-f'(ξ)x代入上式后得到