一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设F
1(x),F
2(x)为随机变量的分布函数,f
1(x),f
2(x)是密度函数,则______
- A.f1(x)+f2(x)是密度函数.
- B.f1(x)f2(x)是密度函数.
- C.对任何满足a+b=1的实数a,b,af1(x)+bf2(x)是密度函数.
- D.F1(x)F2(x)是分布函数.
A B C D
D
[解析] 可根据密度函数和分布函数的性质利用排除法求解.
对于A,因为
对于B和C,取下列均匀分布密度:
于是f
1(x)f
2(x)≡0,显然不是密度函数,否定B.
显然不是密度函数,否定B.
2. 若正项级数
收敛,则级数
______
- A.绝对收敛.
- B.条件收敛.
- C.发散.
- D.收敛性与参数λ有关.
A B C D
A
[解析] 因为
又正项级数
收敛
正项级数
收敛,由正项级数极限审敛法可知
收敛,从而得知原级数绝对收敛.
3. 设a
n>0,且
收敛,
则级数
______
- A.绝对收敛.
- B.条件收敛.
- C.发散.
- D.敛散性与λ有关.
A B C D
A
[解析] 注意到
又因为
收敛,所以该级数绝对收敛.
4. 已知α
1,α
2,α
3,α
4为3维非零列向量,则下列结论:
①如果α
4不能由α
1,α
2,α
3线性表出,则α
1,α
2,α
3线性相关;
②如果α
1,α
2,α
3线性相关,α
2,α
3,α
4线性相关,则α
1,α
2,α
4也线性相关;
③如果r(α
1,α
1+α
2,α
2+α
3)=r(α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4),则α
4,可以由α
1,α
2,α
3线性表出.
其中正确结论的个数为______
A B C D
C
[解析] 如果α
1,α
2,α
3线性无关,由于α
1,α
2,α
3,α
4为4个3维向量,故α
1,α
2,α
3,α
4线性相关,则α
4必能由α
1,α
2,α
3线性表出,可知①是正确的.
令
则α
1,α
2,α
3,线性相关,α
2,α
3,α
4线性相关,但α
1,α
2,α
4线性无关.可知②是错误的.
由
[α
1,α
1+α
2,α
2+α
3]→[α
1,α
2,α
2+α
3]→[α
1,α
2,α
3],
[α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4]→[α
4,α
1,α
2,α
3]→[α
1,α
2,α
3,α
4],
可知
r(α
1,α
1+α
2,α
2+α
3)=r(α
1,α
2,α
3),
r(α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4)=r(α
1,α
2,α
3,α
4),故当r(α
1,α
1+α
2,α
2+α
3)=r(α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4)时,也有
r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
3,α
4),因此α
4可以由α
1,α
2,α
3线性表出.可知③是正确的.故选C.
5. 幂级数
的收敛域为______
- A.(-2,2).
- B.[-2,2].
- C.(-8,8).
- D.[-8,8].
A B C D
C
[解析] 用一般记号,
为了使用洛必达法则,将
用x表示,n→∞相当于x→0,并注意到x大于0的时候,x>sinx,所以可去掉绝对值号,考虑
所以收敛半径R=8,收敛区间(-8,8).为讨论收敛域,讨论x=±8处对应的级数的敛散性.在x=8处,对应的级数的通项为
将
记成x,由
所以
,级数在x=8处不收敛,同理在x=-8处亦不收敛,故收敛域为(-8,8).
6. 函数
在x=π处的______
A.右导数
B.导数
C.左导数
D.右导数
A B C D
D
[解析] f(x)在x=π处的左、右导数为:
因此f(x)在x=π处不可导,但有
10. 幂级数
的收敛域是______
- A.[-1,+1].
- B.[-1,1).
- C.(-1,1].
- D.(-1,1).
A B C D
B
[解析] 因为
所以,收敛半径r=1.
当x=-1时,原级数变为交错级数
.
因为
,所以|a
n|单调减;又由
,得
即有|a
n|<
,符合莱布尼茨条件,所以
收敛.
当x=1时,正项级数
发散.因为
综上,原幂级数的收敛域为[-1,1),选择B.
二、填空题1. 二重积分
的符号为______.
负号
[解析] 二重积分的积分值的符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定.
积分区域D:|x|+|y|≤1.因0≤x
2+y
2≤(|x|+|y|)
2≤1,故ln(x
2+y
2)≤ln1=0,但又不恒等于零,故
2. 设
则B
-1=______.
3. 设A为3阶矩阵,α
1,α
2,α
3为线性无关的向量组,若Aα
1=α
1+α
2,Aα
2=α
2+α
3,Aα
3=α
1+α
3,则|A|=______.
2
[解析] 由题可得
由于α
1,α
2,α
3线性无关,则P=(α
1,α
2,α
3)为可逆矩阵.因此
因此A~B,则矩阵A、B的行列式值相等.即
4. 设f'(sin
2x)=cos
2x+tan
2x(0<x<1),则f(x)=______.
5. 将一枚硬币重复掷五次,则正面、反面都至少出现两次的概率为______.
[解析] 这是独立重复试验概型,设X={掷五次硬币,正面出现的次数},则X~
而Y=5-X为5次中反面出现的次数.
记A={正面、反面都至少出现两次},则
6.
e-2
[解析] 一时看不出是什么类型,表达式是个乘积,形式较复杂,先取对数再说.令
所以
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 某商品市场价格p=p(t)随时间变化,p(0)=P
0.而需求函数Q
A=b-ap(a,b>0).供给函数Q
B=-d+cp(c,d>0),且p随时间变化率与超额需求(Q
A-Q
B)成正比.求价格函数p=p(t).
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证:2. 存在ξ∈(a,b),使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
证明:设φ(x)=xf(x),则φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理得,存在ξ∈(a,b),使φ'(ξ)=0,即f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
3. 存在η∈(a,b),使ηf(η)+f'(η)=0.
证明:设
则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理得,存在η∈(a,b),使
即ηf(η)+f'(η)=0.
4. 设f(x,y)在点O(0,0)的某邻域U内连续,且
常数
.试讨论f(0,0)是否为f(x,y)的极值?是极大值还是极小值?
解:由
再令
于是上式可改写为
由f(x,y)的连续性,有
另一方面,由
知,存在点(0,0)的去心邻域
当
时,有
故在
内,f(x,y)>0.所以f(0,0)是f(x,y)的极小值.
已知3阶实对称矩阵A的特征值为1,1,0,且α=(1,1,1)T是齐次方程组Ax=0的基础解系.5. 求正交矩阵P,使得
,其中
为对角矩阵.
解:由Aα=0=0.α,知α=(1,1,1)
T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量,
设A关于特征值λ=1的特征向量为(x
1,x
2,x
3)
T,由于实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量彼此正交,所以有
x
1+x
2+x
3=0,
得基础解系α
1=(-1,1,0)
T,α
2=(-1,0,1)
T.
把α
1,α
2正交化.
取β
1=α
1,
于是特征值为1,1,0,对应的特征向量为(-1,1,0)
T,(1,1,-2)
T,(1,1,1)
T.
单位化得
令
6. 求A.
解:于是
7. β=(1,3,5)
T,求A
nβ.
解:
β=(1,3,5)
T,
8. 设{na
n}收敛,且
收敛,证明:级数
收敛.
证:令S
n=a
1+a
2+…+a
n,S'
n+1=(a
1-a
0)+2(a
2-a
1)+…+(n+1)(a
n+1-a
n),
则S'
n+1=(n+1)a
n+1-S
n-a
0,因为
收敛且数列{na
n}收敛,
所以
都存在,于是
存在,根据级数收敛的定义,
收敛.
9. 设函数y=f(x)由参数方程
所确定,其中φ(t)具有二阶导数,且已知
证明:函数φ(t)满足方程
证:因为
有
由题设
得
故(1+t)φ"(t)-φ'(t)=3(1+t)
2,
即