一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设A是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量X,有X
TAX=0,则______.
- A.|A|=0
- B.|A|>0
- C.|A|<0
- D.以上都不对
A B C D
A
[解析] 设二次型
其中Q为正交矩阵.取
则f=X
TAX=λ
1=0,同理可得λ
2=λ
3=0,由于A是实对称矩阵,所以r(A)=0,从而A=O,选A.
2. 设向量组(Ⅰ)α
1,α
2,…,α
s,其秩为r
1,向量组(Ⅱ)β
1,β
2,…,β
s,其秩为r
2,且β
i(i=1,2,…,s)均可由(Ⅰ)α
1,α
2,…,α
s线性表出,则______
- A.向量组α1+β1,α2+β2,…,αs+βs的秩为r1+r2
- B.向量组α1-β1,α2-β2,…,αs-βs的秩为r1-r2
- C.向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βs的秩为r1+r2
- D.向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βs的秩为r1
A B C D
D
[解析] 因向量组A.α1+β1,α2+β2,…,αs+βs中任一向量及向量组B.α1-β1,α2-β2,…,αs-βs中任一向量均可由α1,α2,…,αs线性表出,故秩均应≤r1同样向量组C及D中,因βi(i=1,2,…,s)均可由α1,α2,…,αs线性表出,故应有r(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βs)=r(α1,α2,…,αs)=r1,故应选D.
3. 设A,B是n阶矩阵,则下列结论正确的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 因
或|B|=0,故(C)正确;
A.不正确,例:
但AB=O;
B.不正确,例:
D.不正确,例:
,但|A|=1.
4. 设φ
1(x),φ
2(x),φ
3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a
1(x)y'+a
2(x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为______.
- A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)
- B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)
- C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]
- D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x),其中C1+C2+C3=1
A B C D
D
[解析] 因为φ1(x),φ2(x),φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,
所以φ1(x)-φ3(x),φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解,
于是方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为
C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)
即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x),其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1,选D.
6. 已知n阶矩阵A和B阶矩阵B等价,则必有______
- A.A+E和B+E等价.
- B.A2和B2等价.
- C.AB和BA等价.
- D.-2A和3B等价.
A B C D
D
[解析] n阶矩阵A和B等价,故r(A)=r(B).
r(A)=r(-2A)=r(B)=r(3B),故-2A和3B等价,应选D.
取
,r(A)=r(B)=2,但r(A+E)=1≠r(B+E)=2,A+E和B+E不等价,故A不成立.
取
r(A)=r(B)=1,但r(A
2)=1≠r(B
2)=0,A
2和B
2不等价,故B不成立.
取
,r(A)=r(B)=1,但
,AB和BA不等价,故C不成立,由排除法,应选D.
8. 设
则下列级数中一定收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因
有
而
收敛,由正项级数的比较审敛法知
收敛,故
绝对收敛.从而收敛,故选D.
A、C错:如
B错:如
9. 设
在(-∞,+∞)内连续,且
.则常数a,b应满足的充要条件是______
- A.a≤0,b<0.
- B.a>0,b>0.
- C.a≤0,b>0.
- D.a>0,b<0.
A B C D
C
[解析] 由于
在(-∞,+∞)内连续,所以a-e
bx≠0,故a≤0.不选B或D.由于要满足
,故要有
,所以应有b>0.不选A.反之设C成立时,易知f(x)在(-∞,+∞)内连续,再由洛必达法则知,
=
10. 设{a
n}与{b
n}是两个数列,下列命题:______
①设{a
n}与{b
n}均发散,且a
n+b
n≠0(n=1,2,…),则{a
n+b
n}亦必发散;
②设{a
n}发散,{b
n}收敛,b
n≠0(n=1,2,…),则{a
nb
n}必发散;
③设{a
n}收敛,{b
n}有界,则{a
nb
n}必收敛.
其中正确的个数为______
A B C D
D
[解析] 没有一个是正确的,举反例如下:
①设
,n=1,2,…,
与
均不存在,{a
n}与{b
n}均发散,且
(n=1,2,…).但
,所以{a
n+b
n}是收敛的.
②设a
n=2+(-1)
n,n=1,2,…,
不存在,{a
n}发散.
,n=1,2,…,
,{b
n}收敛.
,
,所以{a
nb
n}是收敛的.
③设
,n=1,2,…,
,{a
n}收敛.b
n=2+(-1)
n,n=1,2,…,{b
n}有界.
,且当n为偶数→∞时,a
nb
n→3;当n为奇数→∞时,a
nb
n→1,所以
不存在,故{a
nb
n}发散.选D.
二、填空题1. 设随机变量X~P(λ),且E[(X-1)(X-2)]=1,则λ=______.
1
[解析] 因为X~P(λ),所以E(X)=λ,D(X)=λ,故E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ2+λ.
由E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2=λ2-2λ+2=1得λ=1.
2. 设y(x)是微分方程y"+(x+1)y'+x
2y=x的满足y(0)=0,y'(0)=1的解,并设
存在且不为零,则正整数k=______,该极限值=______.
[解析] 由y(0)=0知,所求极限为“
”型,又
由初始条件y'(0)=1,若k=1,则上述极限为0,不符,故k≥2.
由所给方程知,y"(0)=[x-(x+1)y'-x
2y]|
x=0=-1.所以当k=2时,上述极限为
于是知
故k=2,
.
3. 差分方程
满足y
0=1的特解是y
t=______.
(1+3t)2-t
[解析] 按照一阶非齐次线性差分方程的规范解法处理.齐次方程对应的特征方程为
2r-1=0,
,
则齐次方程的通解为
由于自由项
中的
恰好是特征根,所以令
,其中常数A待定.将上式代入原差分方程,有
,
得
,
故A=3,所以原差分方程的通解为
再由
,得C=1,所以特解为
或y
t=(1+3t)2
-t.
4. 设e
-x2是f(x)的一个原函数,则
[解析] f(x)=(e
-x2)'=-2xe
-x2,
而f'(x)=-2e
-x2+4x
2e
-x2,
5. 方程组
的通解是______.
6. 设u=u(x,y)二阶连续可偏导,且
,若u(x,3x)=x,u'
x(x,3x)=x
3,则u"
xy(x,3x)=______.
[解析] u(x,3x)=x两边对x求导,得u'
x(x,3x)+3u'
y(x,3x)=1,
再对x求导,得u"
xx(x,3x)+6u"
xy(x,3x)+9u"
yy(x,3x)=0.
由
,得10u"
xx(x,3x)+6u"
xy(x,3x)=0,
u'
x(x,3x)=x
3两边对x求导,得u"
xx(x,3x)+3u"
xy(x,3x)=3x
2,
解得
.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设B=2A-E.证明:B
2=E的充分必要条件是A
2=A.
证:因为B=2A-E,B
2=(2A-E)(2A-E)=4A
2-4A+E,所以
4A
2-4A+E=E
4A
2-4A=O
A
2=A.
2. 在约束条件C:x
2+2xy+2y
2-4y=0下,求
的最大值与最小值.
解:求
的最大值与最小值,等价于讨论
φ(x,y)=(x+y-6)
2 的最大值与最小值,且
用拉格朗日乘数法,构造辅助函数.
F(x,y,λ)=(x+y-6)
2+λ(x
2+2xy+2y
2-4y).
令
由①式与②式,得λ(2y-4)=0,则λ=0或y=2.
当λ=0时,②式与③式联立无解,所以不取λ=0.改取y=2,代入③式,得x
2+4x=0,得x=0或x=-4,则两点(0,2)或(-4,2).
取点(0,2),得φ(0,2)=16;取点(-4,2),得φ(-4,2)=64.由于约束条件C:x
2+2xy+2y
2-4y=0所表示的曲线在xOy平面上的一个矩形区域D={(x,y)|-k≤x≤k,-k≤y≤k)内
[注],连续函数φ(x,y)在C上必有最大值与最小值,所以
maxφ(x,y)=64,minφ(x,y)=16.
从而
.
[注]①C.x
2+2xy+2y
2-4y=0是一条平面二次曲线.下面证明它的范围是有限的,不是伸展到无限的.事实上,取直线y=k,它与C的交点应满足
x
2+2kx+2k
2-4k=0,
判别式
Δ=(2k)
2-4(2k
2-4k)=-4k(k-4).
当k充分大或-k充分大时,Δ<0,说明C与y=k无交点.同理可证C与x=k无交点(k>0充分大,或-k>0充分大),所以C在xOy平面某区域D内.实际上,C是一个椭圆,不过一般中学教科书里不讲到这件事.
②实际上,由拉格朗日乘数法做出来的仅是必要条件而不是充分条件,一定要先有“最大值、最小值”才能去求.若“有”,那么求出来的必定是它.
设f(x)在(-∞,+∞)内连续,以T为周期,证明:3.
4.
证:
5.
(即f(x)的全体原函数)周期为
证:只需注意
是f(x)的一个原函数.
已知随机变量X的概率密度为f(x)=Aex(B-r)(-∞<x<+∞),且有EX=2DX.试求:7. E(X
2+e
X)的值.
证明:
故
8.
的分布函数F
Y(y).
证:
当y<0时,F
Y(y)=0;
当y≥0时,
其中Φ(y)为标准正态分布函数.
9. 设A是n阶方阵,2,4,…,2n是A的n个特征值,E是n阶单位阵.计算行列式|A-3E|的值.
解:若λ为A的特征值,则λ-3为A-3E的特征值.所以A-3E的特征值为-1,2,3,…,2n-3,故|A-3E|=(-1)×1×3×…×(2n-3)=-(2n-3)!!.
10. 计算
解:方法一 设a>0,D
a={(x,y)|-a≤x≤a,-a≤y≤a},则当a→+∞时,D
a→D,其中D={(x,y)|-∞<x<+∞,-∞<y<+∞},从而
方法二 设R>0,D
R={(x,y)|x
2+y
2≤R
2},则当R→+∞时,D
R→D,从而
引入极坐标系x=rcosθ,y=rsinθ,则当
时,min{x,y}=y=rsinθ,而当
时,min{x,y}=x=rcosθ,于是