一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2.
的原函数为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
F(0+)=F(0-),即F(x)在x=0处连续,C
1=C
2+1,若C
2=0,则C
1=1,选D.
3. 设数列{x
n},{y
n}满足
,当n→∞时______.
- A.xn是yn的高阶无穷小
- B.yn是xn的高阶无穷小
- C.xn是yn的等阶无穷小
- D.xn是yn的同阶但非等阶无穷小
A B C D
B
[解析] 已知
故是x
n的高阶无穷小.
4. 若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界,则______.
- A.a<0,b>0
- B.a>0,b>0
- C.a=0,b>0
- D.a=0,b<0
A B C D
C
[解析] 微分方程y"+ay'+by=0的特征方程为λ
2+aλ+b=0,当Δ=a
2-4b>0时,特征方程有两个不同的实根λ
1,λ
2,则λ
1,λ
2至少有一个不等于零,若C
1、C
2都不为0,则微分方程的解y=C
1e
λ1x+C
2e
λ2x在(-∞,+∞)无界,舍去;当Δ=a
2-4b=0时,特征方程有两个相同的实根,
,若C
2≠0,则微分方程的解
在(-∞,+∞)为无界函数,舍去;当Δ=a
2-4b<0时,特征方程的根为
则通解为
,此时,要使微分方程的解在(-∞,+∞)有界,则a=0,再由Δ=a
2-4b<0可知b>0.
6. 若函数
在a=a
0处取得最小值,则a
0=______
A.
B.-ln(ln2)
C.
D.ln2
A B C D
A
[解析] a>0,可使得f(a)收敛,
8. 设A、B为n阶可逆矩阵,E为n阶单位矩阵,M
*为矩阵M的伴随矩阵,则
=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 根据题目进行计算,
还可将选项一一代入验证.
9. 二次型f(x
1,x
2,x
3)=(x
1+x
2)
2+(x
1+x
3)
2-4(x
2-x
3)
2的规范式为______.
- A.y12+y22
- B.y12-y22
- C.y12+y22-4y32
- D.y12+y22-y32
A B C D
B
[解析] 考虑非退化的线性替换:
10. 已知向量
,若γ既可由α
1,α
2线性表示,也可以β
1,β
2线性表示,则γ=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由题意可设存在x
1,x
2,y
1,y
2使得:
r=x
1α
1+x
2α
2=y
1β
1+y
2β
2,则x
1α
1+x
2α
2-y
1β
1-y
2β
2=0.
故r=-cβ
1+cβ
2=c(-1,-5,-8)
T=-c(1,5,8)
T=k(1,5,8)
T,k∈R.
二、填空题1. 当x→0时,f(x)=ax+bx
2+ln(1+x)与g(x)=e
x2-cosx是等阶无穷小,则ab=______.
-2
[解析]
,因为g(x)与f(x)为等阶无穷小量,联立方程组
则ab=-2.
3. 设函数z=z(x,y)由e
z+xz=2x-y确定,则
[解析] 先对方程两边x求偏导得:
,且x=1,y=1,z=0,故
再对
两边x求偏导得:
,将x=1,y=1,z=0,
,代入,可得,
4. 曲线3x
3=y
5+2y
3在x=1对应点处的法线斜率为______.
[解析] x=1时代入曲线方程得y=1.再对方程两边的x求导后得:9x
2=6y
2y
'+5y
4y
',将y=1代入得9=6y
'+5y
',
,即法线斜率为
.
5. 设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x,
[解析]
6. 已知线性方程组
有解,其中a,b为常数,若
,则
8
[解析] 已知系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,由题意得