一、单项选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 二、填空题1. 已知A为3阶方阵,且|A|=-2,A
*为A的伴随矩阵,则|AA
*|=______.
-8.
[解析] 因为AA*=|A|E,又已知A为3阶方阵,且|A|=-2,所以|AA*|=|A|3|E|=|A|3=(-2)3=-8.
2. 设矩阵A满足A
2+A-5E=0,其中E为单位矩阵,则(A+2E)
-1=一______.
[解析] 由(A+2E)(A-E)=A
2+A-2E=3E,得
3. 设z=f(2x,xe
x,sinx
2),f具有连续偏导数,则
=______.
[解析] 由多元复合函数求导法则得,
4. 设2阶矩阵A有两个不同的特征值,α
1,α
2是A的线性无关的特征向量,且满足A
2(α
1+α
2)=α
1+α
2,则A相似于对角阵______.
[解析] 设α
1,α
2对应的特征值分别为λ
1,λ
2,由A
2(α
1+α
2)=α
1+α
2得
又α
1,α
2线性无关,则
.
由于λ
1,λ
2不同,则A相似于对角阵
.
5. 已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx,则∫xf'(x)dx=______.
xcosxlnx+(1+sinx)(1-lnx)+C.
[解析] 由已知得,[(1+sinx)lnx]'=f(x),
由分部积分得,∫xf'(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx
=xcosxlnx+(1+sinx)(1-lnx)+C.
6. 设事件A与B相互独立,P(A)=a,P(B)=0.3,
,则a=______.
[解析]
当事件A与B相互独立时,P(AB)=P(A)P(B),所以
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.
解:因为积分区域D关于x轴对称,
是关于y的奇函数,因此,
2. 求微分方程y'cosx-ysinx=2x的通解.
已知曲线L的方程3. 讨论L的凹凸性;
解:
所以当t>0时曲线L是凸的.
4. 过点(-1,0)引L的切线,求切点(x
0,y
0),并写出切线的方程.
解:切线方程为
,
则
,
得
因为t
0>0,所以t
0=1,点为(2,3),切线方程为y=x+1.
5. 设f(x)在[1,2]上可导,且f(1)=1,f(2)=2,
解:
6. 设f(x)在[0,1]上可微,且
,证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使
.
解:设辅助函数φ(x)=xf(x),
又因为
,由积分中值定理,可得知存在
使
,即f(1)=cf(c)
显然,φ(x)在[c,1]上连续,在(c,1)内可导,且φ(c)=φ(1),可见,φ(x)满足罗尔定理,
所以,在
内至少有一点ξ,使φ'(ξ)=0.
又φ'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ),所以
.
7. 设函数f(x)连续,且
,试求f'(x).
解:
设随机变量X的概率密度为
令Y=X2,F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,求:8. Y的概率密度;
解:Y的分布函数为F
Y(y)=P(Y≤y)=P(X
2≤y).
当y≤0,F
Y(y)=0,f
Y(y)=0;
当0<y<1,
当1≤y<4,
;
当y≥4,F
Y(y)=1,f
Y(y)=0.
Y的概率密度为
9.
.
解:
10. 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离,求随机变量X的分布函数.
解:若x<0,则{X≤x}是不可能事件,所以F(x)={X≤x}=0.
若0≤x≤2,P{0≤X≤x}=cπx
2,c是常数,取x=2,
有P{0≤X≤2}=cπ·2
2=1,得
,即
.
若x≥2{X≤x}是必然事件,所以F(x)={X≤x}=1.
综上所述,X的分布函数为
设三阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3;A的属于特征值1,2的特征向量为α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T.11. 求A的属于特征值3的特征向量.
解:设A的属于特征值3的特征向量为α
3=(x
1,x
2,x
3)
T,则
即
解得α
3=(1,0,1)
T.
12. 求方阵A.
解:令P=(α
1,α
2,α
3),则