一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的.1. 设x→0
+时,
与x
k是等价无穷小,则k=______.
A.
B.
C.
D.1
A B C D
A
[解析]
综上所述,当且仅当
时,有
故选A.
另解
2. 设函数f(x)连续,且
则下面结论不正确的是______.
- A.f(0)=0.
- B.f(0)为f(x)的极大值.
- C.f'(0)=0.
- D.f(0)为f(x)的极小值.
A B C D
D
[解析] 由题意,当x→0时,f(x)和x
2是同阶无穷小,故有f(0)=0,A正确.
利用导数的定义,得
故C正确。由极限的保号性,
δ>0使得当
即f(x)<-x
2<0=f(0).故0是f(x)的最大值点.B正确,D错误.
故选D.
4. 设D是以点(1,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形区域,
则______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 设区域D的面积为S
D,则
由题意,对于
(x,y)∈区域D有1≤x+y≤2.
所以对于
(x,y)∈D,有0≤ln
2(x+y)<ln(x+y)≤ln2.
一方面,
另一方面,
故选B.
5. 若向量组α
1,α
2,…,α
s可由向量组β
1,β
2,…,β
s线性表出,则α
1,α
2,…,α
s线性无关是β
1,β
2,…,β
s线性无关的______.
- A.充分必要条件.
- B.充分不必要条件.
- C.必要不充分条件.
- D.既不充分也不必要条件.
A B C D
B
[解析] 由题意,α
i=α
i1β
1+a
i2+β
2+…+a
isβ
s,i=1,2,…,s.
将上式代入k
1α
1+k
2α
2+…+k
sα
s=0得
当α
1,α
2,…,α
s线性无关时,k
1=k
2=…k
s=0,从而β
1,β
2,…,β
s线性无关.
当β
1,β
2,…,β
s线性无关时,(a
1i,a
2i,…,a
si)(k
1,k
2,…,k
s)
T=0,i=1,2,…,s.
故k
1=k
2=…=k
s=0不一定成立,即α
1,α
2,…,α
s不一定线性无关,故选B.
6. 设A是可逆矩阵,A
*是A的伴随矩阵.若ξ是A的属于特征值A的特征向量,则A
*的一个特征值和相应的特征向量依次为______.
A.
B.
C.λ,|A|ξ.
D.
A B C D
A
[解析] 由伴随矩阵的定义,AA
*=A
*A=|A|E.A可逆,进而有A
*=|A|A
-1.
根据题意,ξ是A的属于特征值λ的特征向量,故ξ是A
-1的属于特征值λ
-1的特征向量.
故有
等式两边同时乘|A|,得
故选A.
7. 已知矩阵
若可逆矩阵P满足PA=B,则P可以为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由于b21=0,故p21a11+p22a21+p23a31=p31+3p32=0,排除A.
由于b32=0,故p31a12+p32a22+p33a32=p31+2p32-p33=0,排除B,D.
故选C.
10. 设随机变量X与Y相互独立,且X的概率密度为
则D(XY)=______.
A.
B.1.
C.
B.2.
A B C D
B
[解析] 随机变量X和Y相互独立,从而随机变量X
2和Y
2相互独立.
从而有E(XY)=E(X)E(Y)且E(X
2Y
2)=E(X
2)E(Y
2).
利用随机变量方差的定义,并结合上式,得:
D(XY)=E[XY-E(XY)]
2 =E[X
2Y
2-2XYE(XY)+E
2(XY)]
=E[X
2Y
2]-2E
2(XY)+E
2(XY)]
=E[X
2]E[Y
2]-E
2(X)E
2(Y).
连续型随机变量X的一阶矩
连续型随机变量X的二阶矩
此外,对于离散型随机变量Y,显然有E[Y]=E[Y
2]=1/2.
∴
故选B.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设函数f(x)连续且满足
计算
解:
则原式为
f(x)=4x-B-A(1+2x). (*)
上式两边分别在[0,1]和[1,2]上对x积分,得
解得A=-1,B=5,代入(*)式得
f(x)=6x-4.
2. 设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数,且满足
f(x+y,xy)=3xye
x2y+xy
2+(x
2-xy+y
2)e
x+y+5,求
解:f(x+y,xy)=3xyexy(x+y)+[(x+y)2-3xy]ex+y+5,得
f(u,v)=3veuv+(u2-3v)eu+5.
所以fu(u,v)=3v2euv+2ueu+(u2-3v)eu,
fuv(u,v)=6veuv+3uv2euv-3eu.
故fuv(2,1)=6e2+6e2-3e2=9e2.
3. 计算二重积分
其中D={(x,y)|x
2+y
2≤1}.
解:
4. 设连续函数f(x)满足
且f(1)=-2,求f(x).
解:
设矩阵相似.5. 求a,b的值.
解:因为A与B相似,因此具有相同的迹和行列式,故
a+2=2, 2a-3=1-2b.
解得a=0,b=2.
6. 求可逆矩阵P,使B=P
-1AP.
解:由第1小题得,A和B的特征多项式为
|λE-A|=|λE-B|=λ
2-2λ-3,
所以A与B的特征值为λ
1=-1,λ
2=3.
A的属于特征值λ
1的特征向量为
B的属于特征值λ
1的特征向量为
A的属于特征值λ
2的特征向量为
B的属于特征值λ
2的特征向量为
(本题满分12分)
将2个球依次随机地放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,X,Y分别表示1号和2号盒子中球的个数.8. 求X与Y的相关系数.
解: