一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的.2. 设函数f(x)连续,
则dF(x)=______.
A.0
B.(x-t)f(x)dx
C.
D.
A B C D
D
[解析]
6. 设3维向量组α
1,a
2,α
3的秩为2,则向量组α
1-α
2,α
2-α
3,α
3-α
1的秩是______.
A B C D
B
[解析] 设存在3个实数a,b,c使得
a(α1-α2)+b(α2-α3)+c(α3-α1)=0
成立。
整理上式得:(a-c)α1+(b-a)α2+(c-b)α3=0
因向量组α1,α2,α3的秩为2,则a-c,b-c,c-b中至少有一个不为零.
不妨设a-c=k≠0,得
kα1+(b-c-k)α2+(c-b)α3=0,
整理得:k(α1-a2)+(b-c)(α2-α3)+0(α3-α1)=0,因k≠0
所以向量组α1-α2,α2-α3,α3-α1线性相关,其秩小于3.
9. 设
表示自由度为n的χ
2分布的是上侧α分位数,设X
1,X
2,…,X
10。是来自N(0,1)的简单随机样本,
则______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
10. 袋子中有1个红球、2个黄球、2个白球,从中任取4个,以X表示取出的红球数,Y表示取出的黄球数,则Cov(X,Y)=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] X表示取出的红球个数,Y表示取出的黄球个数,则随机变量X可能取值X=0和X=1,随机变量Y可能取值Y=1和y=2;
则X,Y的分布律分别为:
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,1. 求f(x)在x=1处的左导数f'
-=(1);
解:
2. 证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
解:令g(x)=xf(x).
由题意知,g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且g(0)=g(1)=0,由罗尔中值定理知:
存在ξ∈(0,1)使得g'(ξ)=0,即f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
3. 设D是曲线
与y=x
3(x≥0)围成的平面有界区域,Ω是D绕x轴旋转所得旋转体,求D的面积与Ω的体积.
解:两条曲线的交点为(0,0),(1,1).区域D的面积为
Ω的体积为
4. 计算
解:
5. 求函数f(x,y)=(y+sinx-2)[1-ln(y-1)]在区域D={(x,y)|0<x<π,1<y<π}内的极值.
解:
设矩阵的一个特征值为1.6. 求a的值.
解:因为1是A的特征值,所以|E-A|=a(a2-a+1)=0
解得a=0.
7. 求可逆矩阵P,使P
-1AA
TP为对角矩阵.
解:由于
|λE-AA
T|=λ(λ-2)
2,解得AA
T的特征值λ
1=λ
2=2,λ
3=0
当λ
1=λ
2=2时,解方程组(2E-AA
T)x=0,得AA
T的两个线性无关特征向量
当λ
3=0时,解方程组(0E-AA
T)x=0,得AA
T的特征向量
令
则
设随机变量X的概率密度为
记X的分布函数为F(x),令Y=F(X).8. 求F(x)及DX.
解:当x<0时,分布函数F(x)=0;当
时,F(x)=1;
当
因此,X的分布函数
又
故D(X)=E(X
2)-(E(X))
2=π-3.
9. 求Y的概率密度.
解:记Y的分布函数为G(y),
当y<0时,G(y)=0,当y≥1时,G(y)=1;
当0≤y<1时,
因此,Y的分布函数为
故Y的密度函数