一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设函数z=z(x,y)由方程
确定,其中F为可微函数,且F'
2≠0,则
______
A B C D
B
[解析] 在等式
两端关于x求偏导,得
①
在等式
两端关于y求偏导,得
②
①×x
2+②×xy得
所以
.即正确选项为B.
还可以利用一阶全微分形式不变性求解,留给读者自练.
2. 设三阶矩阵A满足A
*=A
T,且第1行的元素为三个相等的正数,则第1行第1列的元素为______.
A.
B.3
C.
D.
A B C D
A
[考点] 矩阵
[解析] 应选A.由A
*=A
T,得a
ij=A
ij(i,j=1,2,3),于是由行列式的展开定理可知
|A|=a
11A
11+a
12A
12+a
13A
13=a
11a
11+a
12a
12+a
13a
13 注意到a
11=a
12=a
13≠0,从而
.
另外,由|A
*|=|A|
n-1及|A|=|A
T|,得|A|
2=|A|,进而|A|=1或|A|=0.
综上所述,|A|=1,故而
.因此选A.
5. 设A为n阶方阵,将A的第二行加到第一行,再将第二列减去第一列得到矩阵B,则A,B______.
- A.等价未必相似
- B.等价且相似
- C.行向量组等价
- D.列向量组等价
A B C D
B
[解析] 由题意得E
12(1)AE
12(-1)=B,而
取P=E
12(1),即PAP
-1=B.故选B.
6. 已知r(A
3×3)=1,且线性非齐次方程组A
3×3x=b有解,ξ
1=[2,0,-1]
T,ξ
2=[4,2,-1]
T,则下列向量中也是Ax=b的解向量的是______
- A.α1=[2,2,0]T.
- B.α2=[3,1,-1]T.
- C.α3=[1,2,3]T.
- D.α4=[2,1,-2]T.
A B C D
B
[解析] 若Aξ
1=b,Aξ
2=b,则A(k
1ξ
1+k
2ξ
2)=k
1b+k
2b=(k
1+k
2)b,故当k
1+k
2=1时,k
1ξ
1+k
2ξ
2也是Ax=b的解.
故α
i可由ξ
1,ξ
2线性表出,且表出系数之和为1时,α
i即是Ax=b的解.
将ξ
1,ξ
2,α
1,α
2,α
3,α
4合并成矩阵,并作初等行变换
α
3,α
4不能由ξ
1,ξ
2线性表出.
的表出系数之和为0,是对应齐次方程的解.α
2可由ξ
1,ξ
2线性表出,且表出系数之和为1,故α
2是Ax=b的解.
注:当r(A)=1时,线性方程组A
3×3x=b的基础解系由3-r(A)=2个线性无关的向量组成,则ξ
1+k(ξ
1-ξ
2)不是Ax=b的通解,但若能判别α
2∈ξ
1+k(ξ
1-ξ
2),也能说明α
2是Ax=b的解.
7. 要使ζ
1=(1,0,1)
T,ζ
2=(-2,0,1)
T都是线性方程组Ax=0的解,只要系数矩阵A为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
8. 设u(x,y)在点M
0(x
0,y
0)处取极大值,并且
,
均存在,则______
A.
≥0,
≥0
B.
>0,
>0
C.
≤0,
≤0
D.
<0,
<0
A B C D
C
[考点] 本题考查偏导数的性质。偏导数实质上是一元函数的导数,把二元函数的极值转化为一元函数的极值,由一元函数取极值的必要条件可得相应结论。
[解析] 令f(x)=u(x,y
0),由已知x=x
0是f(x)的极大值点,故有
同理,令g(y)=u(x
0,y),且y=y
0是g(y)的极大值点,故有
故选C。
10. 设常数a,b满足
则
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析一] 由
选A.
[解析二] 用带皮亚诺余项的麦克劳公式
其中
因此
二、填空题1. 若
,则a=______,b=______.
2. 设A为4×4矩阵,B为5×5矩阵,且|A|=2,|B|=-2,则|-|A|B|=______,|-|B|A|=______.
3. 设z=f(x,y)连续,且
,则dz|
(1,2)=______.
2dx-dy
[解析] 令
,由f(x,y)连续得f(1,2)=3,
由
得f(x,y)-2x+y-f(1,2)=o(ρ),
即Δz=f(x,y)-f(1,2)=2(x-1)-(y-2)+o(p),
故dz|
(1,2)=2dx-dy.
4. 设
则(A-2E)
-1(A
*+E)=______.
[解析] 由已知得
A可逆,A
*=|A|A
-1=-2A
-1.
故
(A-2E)
-1(A
*+E)=(A-2E)
-1(-2A
-1+E)=(A-2E)
-1(A-2E)A
-1=A
-1,
利用初等变换法求逆
则
5. 微分方程y"+2y'+5y=0的通解为______.
y=e-x(C1cos2x+C2sin2x),其中C1,C2为任意常数.
[解析] 特征方程为r2+2r+5=0,r1,2=-1±2i.
故通解为y=C1e-xcos2x+C2e-xsin2x.
6. 设
则(A+3E)
-1(A
2-9E)=______.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求
.
解 y'=(1+y')f',故
,y"(1+y')
2f"+y"f',
所以
2. 设f(x)在[0,x](x>0)上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,试证:在(0,x)内存在一个ξ,使f(x)=(1+ξ)ln(1+x)f'(ξ).
证明:令F(t)=f(t),G(t)=ln(1+t),由柯西定理,得
所以
,即f(x)=(1+ξ)ln(1+x)f'(ξ).
3. 已知u=ax
2+by
2+cz
2,其中a>0,b>0,c>0,求在条件x+y+z=1下的极小值.
解:利用拉格朗日乘数法,解得
故所求最小值为
[考点] 多元函数微分学
证明:4.
令f(x)=x
2,
.
因为f(x)=x
2为凸函数,所以运用凸函数的性质可得
f(p
1x
1+…+p
nx
n)≤p
1f(x
1)+…+p
nf(x
n).
5.
取f(x)=lnx,则f(x)为凹函数.令
利用凹函数的性质,即得
即得到
6. 讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln
4x的交点个数.
解:设f(x)=4x+ln
4x-4lnx-k(x>0),则
令f'(x)=0,则得x=1.
当0<x<1时,f'(x)<0,则f(x)在(0,1)内单调递减;
当x>1时,f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)内单调递增.
故f(1)=4-k为函数f(x)的最小值.所以:
当f(1)>0时,即k<4时,f(x)无零点,即两曲线无交点;
当f(1)=0时,即k=4时,f(x)有唯一零点,即两曲线有唯一交点;
当f(1)<0时,即k>4时,由于
因此f(x)分别在(0,1),(1,+∞)内各有一个零点,即两曲线有两个交点.
[考点] 一元函数微积分
7. 设f(x)连续,f(0)=0,f'(0)=0,f"(0)≠0,求
解:令u=x-t,则
[考点] 关于含积分上限函数的极限问题.
[解析] 用洛必达法则求解.
特别注意,本题中给出了f"(0)的存在性,在应用时要用其定义求解.