一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.5. 船航行每小时的费用由两部分组成.日常开销(固定部分)为k
1,燃油费(变动部分)与速度立方成正比,比例系数k
2>0.在航程确定的情况下,使船航行总费用最少的航速为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 航行总费用y与航速vkm/h有关,设航程为skm,则航行时间为
,所以有
当
时,
,y单调减少;当
时,
,y单调增加.
所以,当
时,航行总费用最少.选B.
6. 设f(x,y)在点(0,0)的某邻域U内连续,且
则______
- A.f(0,0)是f(x,y)的极小值.
- B.f(0,0)是f(x,y)的极大值.
- C.f(0,0)不是f(x,y)的极值.
- D.f(0,0)是否为f(x,y)的极值由a的值决定.
A B C D
D
[解析] 由极限与无穷小的关系,得
f(x,y)-xy=(a+α)(x
2+y
2),其中
.
①设
,令
,于是
.
由于f(x,y)在点(0,0)处连续,所以
,当x
2+y
2>0且足够小时,α<b,f(x,y)>0,所以f(0,0)是f(x,y)的极小值.
②设
,令
,于是
.
沿直线y=-x,且点(x,y)属于点(0,0)的足够小的去心邻域
,使|α|<|b|,于是
f(x,y)<0.
若沿直线y=x,且点
,注意此时必有x≠0,故
f(x,y)=2x
2(1+b+α)>0.
所以点(0,0)不是f(x,y)的极值点.选D.
7. 设a,b,p,q均为常数,则下列函数中,不是微分方程y
"+py
'+qy=(ax+b)e
x解的是______.
- A.y=1+xex
- B.y=(1+sinx)ex
- C.y=(1+x2)ex
- D.y=(x2+sinx)ex
A B C D
D
[解析] 根据解的结构知,y
"+py
'+qy=(ax+b)e
x的通解为下列几种情形:
对照形式,D项不可能出现.故选D.
8. 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,且当x>a时,f'(x)>k>0,其中k为常数,若f(a)<0,则在区间
内方程f(x)=0的实根个数为______.
A B C D
B
[考点] 确定方程根的个数.
[解析] 根据零点定理判定方程根的存在性,根据单调性判定根的个数.
对f(x)在
上使用拉格期日中值定理,得
由f'(x)>k>0,得
,所以f(x)在
上满足零点定理的条件,故存在
,使得f(ξ)=0.由于f'(x)>0(x>a),所以f(x)在
内单调增加,零点只有一个,故应选B.
9. 下列命题错误的个数是______.
(1)如果矩阵A,B有相同的行列式、秩、特征值和迹,则A,B相似.
(2)矩阵A,B相似的充分必要条件是A
2,B
2相似.
(3)如果矩阵A,B相似,则A,B有相同的特征矩阵、特征多项式、特征值、特征向量和可逆性.
(4)如果矩阵A,B相似,则A,B等价;反之亦然.
(5)如果矩阵A
1,B
1相似,A
2,B
2相似,则A
1+A
2与B
1+B
2相似,A
1A
2与B
1B
2相似.
A B C D
D
[考点] 矩阵的相似关系.
[解析] 利用矩阵相似的性质求解.
命题(1)错误,矩阵
有相同的行列式、秩、特征值和迹,但不相似.
命题(2)错误.由矩阵A,B相似可得A
2,B
2相似.反之不成立.令
则A
2,B
2均为零矩阵,相似,但是A,B不相似.
命题(3)错误.矩阵A,B相似,特征值相同,但是特征向量不同.
命题(4)错误.相似是特殊的等价,但是等价未必相似.
命题(5)错误.令
,则A
1,B
1相似,A
2,B
2相似,但A
1+A
2与B
1+B
2不相似.令
则A
1A
2与B
1B
2不相似.
故选D.
矩阵相似有很多必要非充分条件,所以请掌握一些反例,便于排除错误选项.
10. 设函数f(x)有二阶连续导数,且
,则______。
- A.(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点
- B.x=0不是极值点,(0,f(0))并不是拐点
- C.x=0为f(x)的极大值点
- D.x=0为f(x)的极小值点
A B C D
D
[考点] 极值及拐点的判定与应用。
[解析] 由
,知f(0)=2,f'(0)=0。又由
,知在x=0的某邻域内
,于是f"(x)>0,可知在点x=0处f(x)取极小值。
二、填空题1. 当k=______时,向量β=(1,k,5)能由向量α
1=(1,-3,2),α
2=(2,-1,1)线性表示.
2. 若四阶矩阵A与B为相似矩阵,A的特征值为1/2、1/3、1/4、1/5,则行列式|B
-1-E|=______.
24
[考点] 相似矩阵、特征值、行列式
[解析] 由已知A与B相似,则A与B的特征值相同,
即B的特征值也为1/2、1/3、1/4、1/5,从而B-1-E的特征值为1,2,3,4,
因此|B-1-E|=1·2·3·4=24.
3. 已知A是三阶方阵,其特征值分别为1,2,-3,则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和A
11+A
22+A
33=______.
-7
[解析] 由伴随矩阵定义
又∑a
ii=∑λ
i,故只需求出伴随矩阵A
*的特征值之和也就是代数余子式A
11+A
22+A
33之和.
由|A|=Πλ
i=1·2·(-3)故A
*的特征值
:-6,-3,2,故A
11+A
22+A
33=(-6)+(-3)+2=-7.
4. 设
,f可导,则xz'
x+yz'
y=______.
5. 设x为3维单位列向量,E为3阶单位矩阵,则矩阵E-xx
T的秩为______.
2
[解析] 由题设知,矩阵xxT的特征值为0,0,1,故E-xxT的特征值为1,1,0.又由于实对称矩阵是可相似对角化的,故它的秩等于它非零特征值的个数,即r(E-xxT)=2.
6. 定积分
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设
,
当a,b为何值时,存在矩阵C,使得AC-CA=B,并求所有矩阵C.
解:由题意可知矩阵C为2阶矩阵,故可设
,由AC-CA=B,可得
整理后可得方程组
①
由于矩阵C存在,故方程组①有解,对①的增广矩阵进行初等行变换:
方程组有解,故a+1=0,b=0,即a=-1,b=0.
当a=-1,b=0时,增广矩阵变为
x
3,x
4为自由变量,令x
3=1,x
4=0,代入相应齐次方程,得x
2=-1,x
1=1.
令x
3=0,x
4=1,代入相应齐次方程组,得x
2=0,x
1=1.
故ξ
1=(1,-1,1,0)
T,ξ
2=(1,0,0,1)
T,
令x
3=0,x
4=0,得特解η=(1,0,0,0)
T,
方程组的通解为x=k
1ξ
1+k
2ξ
2+η=(k
1+k
2+1,-k
1,k
1,k
2)
T(k
1,k
2为任意常数),
所以
2. 设A为实矩阵,B=AA
T,且
,求A.
解:因
,故a
ij=0,i=1,2,…,n;j=1,2,…,n.故A=0.
[考点] 矩阵
3. 设f(u,v)有二阶连续偏导数,且满足
又
求
[解] 由复合函数求导法得
现将①,②式相加得
其中由条件知f"
11+f"
22=1.
4. 判断反常积分
的敛散性.
解:由对数不等式,
有
而
收敛,再由比较判别法可得
收敛.
[考点] 不定积分、定积分、反常积分
5. 设f"(x)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得
[解] 令
,则F'(x)=f(x),且F'''(x)∈C[a,b].由泰勒公式得
两式相减,得
因为f"(x)∈C[a,b],所以f"(x)∈C[ξ
1,ξ
2],由闭区间上连续函数最值定理,f"(x)在区间[ξ
1,ξ
2]上取得最小和最大值,分别记为m,M,则有
再由闭区间上连续函数的介值定理,存在ξ∈[ξ
1,ξ
2]
(a,b),使得
,从而有
6. 求函数f(x,y)=x
3+2x
2-2xy+y
2在D=[-2,2]×[-2,2]上的最大值与最小值.
解:按以下三个步骤求最值:
步骤1 求稳定点:令
f
x(x,y)=3x
2+4x-2y=0
f
y(x,y)=-2x+2y=0
解得(0,0),
是函数f在D中的两个稳定点.
步骤2 判别稳定点的类型
因此f(0,0)=0为极小值,而
不是极值点.
步骤3 为确定函数f在D上的最大、最小值,还必须讨论f在D的边界上的情形:
当x=2时
f(2,y)=16-4y+y
2=(y-2)
2+12
其最小值为f(2,2)=12,最大值为f(2,-2)=28;
当x=-2时
f(-2,y)=y
2+4y=(y+2)
2-4
其最小值为f(-2,-2)=-4,最大值为f(-2,2)=12
当y=2时
f(x,2)=x
3+2x
2-4x+4
由
得稳定点
,及边界点x=±2,求出
当y=-2时
f(x,-2)=x
3+2x
2+4x+4
由
的判别式Δ=-32<0,知道f(x,-2)关于x为单调函数,故其最大、最小值分别为f(2,-2)=28,f(-2,-2)=-4.
比较f(x,y)在上述各点(0,0),(2,2),(-2,2),(2,-2),(-2,-2),
的值,得到函数f在D上的最大值和最小值分别为
[考点] 多元函数微分学