一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.
______
A.1.
B.
C.e.
D.e
2.
A B C D
B
[解析]
4. 设n维列向量组α
1,α
2,…,α
m(m<n)线性无关,则n维列向量组β
1,β
2,…,β
m线性无关的充分必要条件为______.
- A.向量组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βm线性表出
- B.向量组β1,β2,…,βm可由向量组α1,α2,…,αm线性表出
- C.向量组α1,α2,…,αm与向量组β1,β2,…,βm等价
- D.矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,βm)等价
A B C D
D
[考点] 矩阵、向量、方程组
[解析] 同型矩阵A=(α
1,α
2,…,α
m)与B=(β
1,β
2,…,β
m)等价,当且仅当r(A)=r(B).列向量组α
1,α
2,…,α
m线性无关
r(α
1,α
2,…,α
m)=r(A)=m.应选D.
5. 将极坐标系下的二次积分
转化成直角坐标系下的二次积分为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
由极坐标系下的二次积分,得直角坐标系下的积分区域D=D
1+D
2,如下图所示.其中
故选D.
7. 下列反常积分
①
②
③
④
中收敛的是
A B C D
B
[解析] 由题中选项可知,这四个积分中有两个收敛,两个发散.
找出其中两个收敛的
因此选B.
找出其中两个发散的
②由
而
发散.
因此选B.
8. 设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的______
- A.必要条件但非充分条件.
- B.充分条件但非必要条件.
- C.充分必要条件.
- D.既非充分又非必要条件.
A B C D
C
[解析] 先证充分性.设φ(0,0)=0,由于φ(x,y)在点(0,0)处连续,所以
由于
故
所以
按可微定义,f(x,y)在点O(0,0)处可微,且df(x,y)=0·Δx+0·Δy,即f'
x(0,0)=0,f'
y(0,0)=0.
再证必要性.设f(x,y)在点(0,0)处可微,则f'
x(0,0)与f'
y(0,0)必都存在.
其中x→0
+时,取“+”,x→0
-时,取“-”.
由于f'
x(0,0)存在,所以φ(0,0)=-φ(0,0),从而φ(0,0)=0.证毕.
9. 设
,则I,J,K的大小关系为
- A.I<J<K.
- B.I<K<J.
- C.J<I<K.
- D.K<J<I.
A B C D
B
[解析] 当
时,
,且lnx在(0,+∞)单调增,于是有,ln(sinx)<ln(cosx)<ln(cotx),
,选B.
虽然
是两个反常积分,但本题的考查方式并不需要考生判断其敛散性,因此反常积分敛散性的判断并不是本题的考点.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设y=y(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且y'(x)≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.1. 试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)满足的微分方程;
因为x[y(x)]=x,所以
从而
故
代入原方程,得y"-y=sinx.
2. 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,
的解.
现在变为初值问题
对应的齐次方程y"-y=0的通解为
Y=C
1e
x+C
2e
-x.
设方程y"-y=sinx的特解为Y=Acosx+Bsinx,
代入得A=0,
故
从而y"-y=sinx的通解为
由y(0)=0,
得C
1=1,C
2=-1,故所求初值问题的解为
3. 设C是常数,f(x)=ln|x|-x+C,讨论f(x)在定义域上零点的个数,并说明理由.
解:由题易知f(x)在x=0处没有定义,且
的计算略有些麻烦.由洛必达法则易知,
,所以
再看单调性.
分3个区间:在区间(-∞,0)内,f'(x)<0,f(x)严格单调减少;在区间(0,1)内,f'(x)>0,f(x)严格单调增加;在区间(1,+∞)内,f'(x)<0,f(x)严格单调减少.
在区间(-∞,0)内,f'(x)<0,且
,所以在区间(-∞,0)内有且仅有1个零点.
在区间(0,+∞)内,maxf(x)=f(1)=C-1.若C>1,则f(1)=C-1>0,又因
,故在区间(0,1)与(1,+∞)内恰好各有1个零点;
若C=1,则在区间(0,+∞)内有唯一零点x=1;
若C<1,则在区间(0,+∞)内无零点.
综上,当C<1时,f(x)在定义域上有1个零点;当C=1时,f(x)在定义域上有2个零点;当C>1时,f(x)在定义域上有3个零点.
4. 设函数y=f(x)在[0,+∞)上可导,且f'(x)>0,f(a)=0.试证
其中b>a>0,x=g(y)是y=f(x)的反函数.
证明:由于f[g(y)]=y,g[f(x)]=x,因此
[考点] 一元函数微积分
5. 计算
,其中
解:由
知
,此圆周将
分成圆盘和圆环两部分,分别记为D
1,D
2(如下图),
其中
当(x,y)∈D
1时
当(x,y)∈D
2时
所以
令x=rcosθ,y=rsinθ,则
故
[考点] 二重积分
6. 设
求f'(x).
解:显然f(x)在x=-1处不连续,故也不可导;又因为
所以f(x)在x=1处也不可导,故
[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)
7. 设f(x)在[a,b]上可导,且
,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=0.
证明:不妨设
,由导数定义可知,
由极限的局部保号性可知,存在δ
1>0,当x∈(a,a+δ
1)时,f(x)<f(a);存在δ
2>0,当x∈(b-δ
2,b)时,f(x)<f(b).
又因为f(x)在[a,b]上可导,从而一定连续,故必有最小值.由以上所证可知,最小值点ξ在(a,b)内,因此由费马定理得f'(ξ)=0.
[考点] 导数定义、费马定理.
[解析] 根据导数的定义,利用极限的局部保号性,结合费马定理求解.