一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设存在正整数N,使得n>N时,有a
n≤A≤b
n,且
则______
A.
但
不一定存在.
B.
都存在,但不一定相等.
C.
都不一定存在.
D.
A B C D
D
[解析] 因为存在N,当n>N时,a
n≤A≤b
n,所以0≤A-a
n≤b
n-a
n.
对上述不等式令n→∞,由题设条件及夹逼准则,有
即得
另外由b
n=(b
n-a
n)+a
n,又得到
注意:由a
n≤b
n和
推不出
存在,例如:
3. 设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在(-∞,0)∪(0,+∞)内可导,
存在,则f(x)在点x=0处可导的一个充分条件为______.
A.
存在
B.
存在
C.f(x)在点x=0处连续
D.
在点x=0处可导
A B C D
C
[解析] A,B,D项不正确.反例:
设
,由于f(x)在点x=0处连续,故
,则由洛必达法则
存在,所以f(x)在点x=0处可导,故选C.
4. 设
则F'(1)=______
- A.2e(1-e).
- B.-2e2.
- C.1-e.
- D.0.
A B C D
A
[解析] 区域D:0≤x≤t
2,x≤y≤t
2,交换次序为D:0≤y≤t
2,0≤x≤y,则
F'(t)=2te
t2(e
t2-1)cos(π|t|),
F'(1)=-2e(e-1)=2e(1-e).
6. 设函数y=y(x)由参数方程
确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
A.
B.
C.-8ln2+3.
D.8ln2+3.
A B C D
A
[解析] 先由x=3确定t的取值,进而求出在此点的导数及相应的法线方程,从而可得所需的横坐标.当x=3时,有t
2+2t=3,得t=1,t=-3(舍去,此时y无意义),于是
可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为:y-ln2=-8(x-3),
令y=0,得其与x轴交点的横坐标为:
故应A.
注意本题法线的斜率应为-8.此类问题没有本质困难,但在计算过程中应特别小心,稍不注意答案就可能出错.
7. 由方程2y
3-2y
2+2xy+y-x
2=0确定的函数y=y(x)______
- A.没有驻点.
- B.有驻点但不是极值点.
- C.驻点为极小值点.
- D.驻点为极大值点.
A B C D
C
[解析] 将所给方程两边对x求导数,y看成由此式确定的x的函数,有
6y
2y'-4yy'+2y+2xy'+y'-2x=0,
(6y
2-4y+2x+1)y'+2(y-x)=0.
先考虑驻点,令y'=0,得y=x,再与原方程联立:
得2x
3-2x
2+2x
2+x-x
2=0,即x(2x
2-x+1)=0.
由于2x
2-x+1=0无实根,故得唯一实根x=0,相应地有y=0.在此点有y'=0.不选A.
再看此点是否为极值点,求二阶导数,由
以x=0,y=0,y'=0代入,得y"=2>0,所以该驻点为极小值点,选C.
9. 设以下的A、B、C为某些常数,微分方程y"+2y'-3y=e
xsin
2x有特解形如______
- A.ex(A+Bcos 2x+Csin 2x).
- B.ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x).
- C.ex(A+Bxcos 2x+Cxsin 2x).
- D.xex(A+Bcos 2x+Csin 2x).
A B C D
B
[解析]
对应齐次方程的通解为 Y=C
1e
x+C
2e
-3x,
自由项为
所对应的特解形式为
自由项为
所对应的特解形式为
因此本题所对应的特解形式为
10. 曲线
的拐点的个数为______
A B C D
D
[解析]
,先求出y'与y".
由
在(-∞,+∞)连续,y"不存在的点只有x=0,x=±
,而y"=0的点不存在,
且在x=±
两侧y"变号,x=0两侧y"也变号
(0,0),(-
,0),(
,0)均为
的拐点,再无其他拐点,因此,应选(D).
在x=0,x=±
均不可导,但连续,拐点判别法则有效.
二、填空题1. 设A为3×3矩阵,|A|=-2,把A按行分块为
其中A
i(j=1,2,3)是A的第j行,则行列式
2. 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f'(0)=______.
n!
[解析] 解法1 由导数定义知
解法2 f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)=xg(x),g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),则f'(x)=g(x)+xg'(x),于是f'(0)=g(0)=n!.
3. 设矩阵
,B=A
2-3A+2E,则B
-1=______.
4. 微分方程2y=(14y
3-x)y'满足初始条件y|
x=2=1的特解为y=______.
[解析] 将微分方程变形为
,这是一阶线性微分方程,其通解为
以y|
x=2=1代入上式,得C=0,于是x=2y
3,即
.
5.