一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 要使
都是线性方程组Ax=0的解,只要系数矩阵A为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 利用系数矩阵A的秩的性质判别.
由题设知ε1与ε2线性无关(分量不成比例),故有3-秩(A)≥2,从而秩(A)≤1.显然只有(A)满足要求.仅(A)入选.
3. 设A是4×3矩阵,B是3×4非零矩阵,满足AB=O,其中
则必有______
- A.当t=3时,r(B)=1.
- B.当t≠3时,r(B)=1.
- C.当t=3时,r(B)=2.
- D.当t≠3时,r(B)=2.
A B C D
B
[解析] 由题设AB=O,知r(A)+r(B)≤3(3是A的列数或B的行数).
又B是非零矩阵,有r(B)≥1,从而有1≤r(B)≤3-r(A).又
当t=3时,r(A)=1,有1≤r(B)≤2,r(B)=1或r(B)=2,故A,C不成立.
当t≠3时,r(A)=2,有1≤r(B)≤1,即r(B)=1.
故应选B.
4. 若下列各极限都存在,其中不成立的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 导数定义.
[解析] 根据导数定义求极限.
由导数的定义可知,
故应选C.
考虑函数在x
0处的导数要利用导数定义及变形形式
5. 把当x→0时的无穷小量α=4x
2+5x
3-x
5,β=ln(1+x
3)-ln(1-x
3),
排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
- A.γ,α,β.
- B.α,β,γ.
- C.α,γ,β.
- D.γ,β,α.
A B C D
B
[解析] 我们分别确定当x→0时α,β,γ分别是x的几阶无穷小.当x→0时
因此α,β,γ当x→0时分别2,3,4阶无穷小,正确的排列次序是B.
选B.
①x→a时α,β分别是x-a的n阶与m阶无穷小,n<m,则α+β是x-a的n阶无穷小,若n=m,则α+β是x-a的n阶或高于n阶的无穷小,如x→0时,x,sinx均是x的一阶无穷小,但x-sinx是x的3阶无穷小.
②ln(1+x
3)与ln(1-x
3)均是x的3阶无穷小,我们不能立即看出
β=ln(1+x
3)-ln(1-x
3)
是x的几阶无穷小.除了上述解法外,我们也可用泰勒公式来确定β的阶:
β=[1+x
3+o(x
3)]-[1-x
3+o(x
3)]=2x
3+o(x
3)~2x
3即β是x的3阶无穷小.
③x→0时
④当然我们也可把无穷小α,β,γ两两进行比较,看谁的阶高.如
若判断出β比α高阶后,去比较α与γ:
比α高阶.此时还须比较γ与β.
因此解这类题目,还是分别确定无穷小α,β,γ的阶数更方便些.
7. 设A,B,C是n阶矩阵,a
i,b
i,c
i,d
i(i=1,2)是常数,则下列各式正确的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 行列式
[解析] 选项A错误.违反了行列式单行(列)的可拆性.
如取
.
选项B错误.事实上,
.更一般地,设X,Y分别是m,n阶矩阵,Z是任意的m×m阶矩阵,则
.
选项C错误.请读者验证
时C错误.
选项D正确.
8. 设
则f{f[f(x)]}=
A.0.
B.1.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由于f(x)≤1,故f[f(x)]=1,因而
f{f[f(x)]}=1.
10. 设区域
其中常数a>b>0.D
1是D在第一象限的部分,f(x,y)在D上连续,等式
成立的一个充分条件是______
- A.f(-x,-y)=f(x,y).
- B.f(-x,-y)=-f(x,y).
- C.f(-x,y)=f(x,-y)=-f(x,y).
- D.f(-x,y)=f(x,-y)=f(x,y).
A B C D
D
[解析] 当C成立时,f(x,y)关于x和y都是奇函数,积分应为零,而题中未说
类似地,可知,也不选A,B.
当D成立时,f(x,y)关于x和y分别都是偶函数,将D在各个象限中的部分分别记为D
1,D
2,D
3与D
4,于是
二、填空题1. 函数f(x)=x+2cosx在
上的最小值为______.
[解析] 因f'(x)=1-2sinx,令f'(x)=0可得
即在
内f(x)有唯一驻点
且
又在端点x=0和
处f(0)=2,
比较可得
故f(x)在
上的最小值为
3. 设函数y=f(x)由参数方程
确定,则y"|
t=1=______.
[解析] 由参数方程,得
4. 若二阶常系数线性齐次微分方程2y"+ay'=0和y"-by=0有同一解y=e
2x,则非齐次方程y"+ay'+by=e
2x的通解为y=______.
(C
1,C
2为任意常数)
[解析] 由题设条件可知二次方程2λ
2+aλ=0与λ
2-b=0有共同的一个解λ=2,所以b=4,a=-4.齐次微分方程为y"-4y'+4y=0,其通解是y=(C
1+C
2x)e
2x(C
1,C
2为任意常数).
求非齐次微分方程y"-4y'+4y=e
2x的一个特解:
设特解Y=Ax
2e
2x,代入微分方程y"-4y'+4y=e
2x,得
A(2e
2x+8xe
2x+4x
2e
2x)-4A(2xe
2x+2x
2e
2x)+4Ax
2e
2x=e
2x.
比较系数,得
故其特解为
通解为
5.
.
[解析] 若令x=sect,则dx=sect·tantdt,于是
也可令
,于是
6. 设y(x)≠0且为连续函数,∫y(x)dx与
分别为y(x)与
的某两个原函数,又设
且y(0)=1,并设
则y(x)=______.
e-x
[解析] 由
有
两边对x求导,得
所以
y
2(x)=[∫y(x)dx]
2,
y(x)=±∫y(x)dx,
所以y=Ce
±x.由题设y(0)=1,知C=1.又因为
故“±”取“-”·所以y=e
-x.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设矩阵
的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
解 矩阵A的特征多项式为
若λ=2是特征方程的二重根,则有2
2-16+18+3a=0,解得a=-2.
当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵
的秩为1,故λ=2对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化.
若λ=2不是特征方程的二重根,则λ
2-8λ+18+3a为完全平方,从而18+3a=16,解得
.
当
时,A的特征值为2,4,4,矩阵
的秩为2,故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化.
今有方程系列P:xn-2x+1=0,n≥3.2. 证明:P中每一个方程,在(0,1)内都有且仅有一个解;
记f
n(x)=x
n-2x+1,则方程x
n-2x+1=0的根,即是函数f
n(x)的零点.
由n>2,当x∈(0,1]时,因为f"
n(x)=n(n-1)x
n-2>0.因此f
n(x)在(0,1]内是严格下凸的,所以f
n(x)在(0,1]内至多有两个零点.已知有f
n(1)=0,因此f
n(x)在(0,1)内至多有一个零点.
又因
而当n≥3时,
所以f
n(x)在
内至少有一个零点.
由此证得,f
n(x)在(0,1)内有且仅有一个零点,记为x
n,且
3. 设P中的第n个方程的解为x
n,求
的值.
思路一:因为
由于
所以存在N>0,当n>N时,
由此可知,f
n(x)的零点
即
所以
思路二:先证x
n,n=3,4,…是单调减数列.
当n≥3时,
而且
x
n-1<1.
由于
ξ
n位于x
n,x
n-1之间,所以
因此
因此,序列{x
n}(n≥3)单调减,且有下界
因此
存在.
又由于
而
所以有
从而
则
设A,B均为n阶方阵,且E-AB可逆.4. 证明E-BA可逆;
证明:反证法.若E-BA不可逆,则存在非零向量x,使
(E-BA)x=0,即x=BAx
令y=Ax,则有x=By.由x≠0,可知y≠0.
于是
(E-AB)y=y-ABy=Ax-Ax=0
这与E-AB可逆矛盾.
[考点] 矩阵、向量、方程组
5. 求E-BA的逆阵.
解:设C为E-AB的逆,则(E-AB)C=E,即C-ABC=E.
上式两端左乘B,右乘A,得
BCA-BABCA=BA
即
(E-BA)BCA=BA
从而
(E-BA)BCA+E-BA=E
故
(E-BA)(BCA+E)=E
于是
(E-BA)-1=BCA+E=B(E-AB)-1A+E
[考点] 矩阵、向量、方程组
6. 设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx
3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小,求a,b,k的值.
解:因为
,所以
又f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小,则
,从而
[考点] 无穷小阶的比较.
[解析] 利用泰勒公式求极限并确定未知常数.
无穷小阶的比较是考研数学的重点和难点,其主要方法是将其转化为相应的极限求解.在求函数极限时,泰勒公式是常用的方法,几个常见函数(ln(1+x),sinx,cosx,ex,(1+x)α)的泰勒公式要熟记.
7. 求曲线
的渐近线.
解:由于
所以y=0是曲线的水平渐近线;又
所以x=0是曲线的垂直渐近线;而
所以y=x是曲线的斜渐近线.
[考点] 定积分的应用
8. 设函数f(x)连续,证明
并计算积分