一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设二次型f(x
1,x
2,x
3)=x
TAx的秩为1,A的各行元素之和均为2,则f在非退化的线性变换x=Py下的规范形为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 特征值、特征向量及二次型
[解析] 因为A的各行元素之和均为2,所以
即A有一个特征值λ
1=2,其对应的特征向量α
1=(1,1,1)
T.
由二次型
f(x
1,x
2,x
3)=x
TAx
的秩为1,知r(A)=1,从而A的另两个特征值λ
2=λ
3=0.由λ
1=2>0,知f的正惯性指数为1,故f在非退化的线性变换下的规范形
.应选D.
3. 设矩阵
,则A和B
- A.合同,但不相似.
- B.合同,且相似.
- C.相似,但不合同.
- D.既不合同,也不相似.
A B C D
A
[解析] 两个实对称矩阵相似
特征值相同,
两个实对称矩阵合同
正、负惯性指数分别相等.
得A的特征值:1,4,0.而B的特征值:3,2,0.
所以A和B不相似,但A和B合同(因为p=2,q=0).
6. 下列函数中,在x=0处不可导的是______
A.f(x)=|x|sin|x|
B.
C.f(x)=cos|x|
D.
A B C D
D
[解析] 本题考查导数的极限定义.
对于D选项:由定义得
由于
,因此f(x)在x=0处不可导.
7. 设
在x=0处二阶导数存在,则常数a,b分别是
A.a=1,b=1.
B.
C.a=1,b=2.
D.a=2,b=1.
A B C D
B
[解析一] 显然有
即f(x)在x=0连续,现求出
要求
即a=1,此时
要求
即
因此选B.
[解析二] 我们考虑分段函数
其中f
1(x)和f
2(x)均在x=x
0邻域k阶可导,则f(x)在分界点x=x
0有k阶导数的充要条件是f
1(x)和f
2(x)在x=x
0有相同的k阶泰勒公式:
f
1(x)=f
2(x)=a
0+a
1(x-x
0)+a
2(x-x
0)
2+…+a
k(x-x
0)
k+o((x-x
0)
k)(x→x
0)
把这一结论用于本题:取x
0=0,
因此f(x)在x=0时二阶可导
选B.
8. 设
,则当kE+A是正定矩阵时,k应满足条件______
- A.k>-1.
- B.k>2.
- C.-1<k<2.
- D.k任意.
A B C D
B
[解析]
思路一:
的全部顺序主子式大于零.
D
1=k>0,
取公共部分,知k+A正定
k>2.
思路二:kE+A正定
kE+A的特征值全部大于零,A的特征多项式为
A有特征值λ
1=λ
2=1,λ
3=-2,kE+A有特征值k+1(二重)和k-2.
10. 下列各选项正确的是
A.若
,则存在a>0,使得当0<|x-x
0|<δ时,有f(x)≥g(x).
B.若存在δ>0,使得当0<|x-x
0|<δ时,有f(x)>g(x),且
,则A
0>B
0.
C.若存在δ>0,使得当0<|x-x
0|<δ时,有f(x)>g(x),则
.
D.若
,则存在δ>0,使得当0<|x-x
0|<δ时,有f(x)>g(x).
A B C D
D
[解析] A考查保号性(极限值的大小推函数值的大小),错在“条件和结论中的≥都应改为>”;B考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小),错在“结论中的>应改为≥”;C考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小),错在“没说极限存在”;D正确.
二、填空题1. 设A,B,C分别为k×k,l×l,s×s矩阵,行列式分别为|A|=2,|B|=3,
则行列式
(-1)kl+ks+ls
[考点] 分块矩阵的行列式.
[解析] 利用行列式的性质化为准对角形行列式.
依次将第k,k-1,…,2,1行与下面的l+s行分别进行交换,可得
再依次将第l,l-1,…,2,1行与下面C所在的s行分别进行交换,可得
分块矩阵一直是考研中的重难点,本题主要考查了分块矩阵的行列式.需要注意的是,每次交换两行或两列时都要加一个负号.
2. 方程yy"=1+y'
2满足初始条件y(0)=1,y'(0)=0的通解为______.
±x
[考点] 高阶微分方程的解
[解析] 令y'=p,则
,即
,
解得ln(1+p
2)=lny
2+lnC
1,则1+p
2=C
1y
2,
由y(0)=1,y'(0)=0得
,
由y(0)=1得C
2=0,所以特解为
.
3. 设n维(n≥3)向量组α
1,α
2,α
3线性无关,则向量组lα
2-α
1,mα
3-2α
2,α
1-3α
3要线性相关,m,l应满足条件______.
lm=6
[解析]
4.
5. 当t______时,实二次型
是正定的.
6. 设y=y(x)满足
,且y(0)=0,则
[考点] 微分的定义及定积分的计算.
[解析] 不定积分求解原函数,定积分的几何意义求积分值.
又因为y(0)=0,所以C=0,即
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设
计算二重积分
解:D是一块矩形域,如图所示.
2. 试证(广义的积分中值定理):设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得
证明:记
则由原函数存在定理知,F'(x)=f(x),则F(x)在[a,b]上连续且在开区间(a,b)内可导,故由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得
F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)
即
注 广义的积分中值定理告诉我们,积分中值定理
中的中值点ξ可以取到开区间里面,即ξ∈(a,b).此结论读者可以记住,直接应用.
[考点] 一元函数微积分
3. 设
求
.
解:由
x
2+y
2=(e
ucosv)
2+(e
usinv)
2=e
2u
得,
.
又由
,则
,于是
[考点] 多元函数微分学
4. 证明:对任意实数a和b,不等式
成立.
证明:令
,所以f(x)在[0,+∞)上单调增加,于是由|a+b|≤|a|+|b|,有f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),即
[解析] 利用单调性证明不等式,一般是先构造辅助函数,然后证明函数的单调性,最后得出要证明的结论.如果用直接导数不好判定符号,则可借助二阶导数来判断一阶导函数的单调性.
5. 求函数
的极值.
解:
在点
处,由于AC-B
2<0,故点
不是f(x,y)的极值点.
在点
处,由于
是f(x,y)的极小值点,极小值为
[考点] 求多元函数的极值.
[解析] 本题可先后利用二元函数取得极值的必要条件和充分条件求极值.
本题在求偏导数时应耐心、细致.
6. 设函数f(x)连续,且f(0)≠0,求极限