一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 在下列微分方程中,以y=C
1e
x+C
2cos2x+C
3sin2x(C
1,C
2,C
3为任意常数)为通解的是
- A.y'''+y"-4y'-4y=0.
- B.y'''+y"+4y'+4y=0.
- C.y'''-y"-4y'+4y=0.
- D.y'''-y"+4y'-4y=0.
A B C D
D
[解析] 根据条件,由通解的形式可以看出此微分方程的三个特征值分别为1,2i,-2i,所以它的特征方程为(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0,从而可知该微分方程是y'''-y"+4y'-4y=0.选项D是正确的.
4. 函数z=(1+e
y)cosx-ye
y极大值点的个数为______
A B C D
D
[解析] 由极限存在的必要条件
得
从而有驻点(2nπ,0),((2n+1)π,-2),n=0,±1,….
又
对点(2nπ,0),有A=-2<0,B=0,C=-1,B
2-AC<0,所以点(2nπ,0)为极大值点.
对点((2n+1)π,-2),有A=1+e
-2>0,B=0,C=-e
-2,B
2-AC>0,故点((2n+1)π,-2)不是极值点,所以该函数有无穷多个极大值点.
7. 设向量组Ⅰ:α
1,α
2,…,α
r可由向量组Ⅱ:β
1,β
2,…,β
s线性表示,则
- A.当r<s时,向量组Ⅱ必线性相关.
- B.当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关.
- C.当r<s时,向量组Ⅰ必线性相关.
- D.当r>s时,向量组Ⅰ必线性相关.
A B C D
D
[解析] 因为向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示,它们的秩满足
r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s,
故当r>s时,r(Ⅰ)<r,故Ⅰ必线性相关,于是选D.
若是能想到“以少表多,则多必相关”,可直接选D.
8. 设A是n阶矩阵,下列结论正确的是______.
- A.A,B都不可逆当且仅当AB不可逆
- B.r(A)<n,r(B)<n当且仅当r(AB)<n
- C.Ax=0与Bx=0同解当且仅当r(A)=r(B)
- D.A相似于B当且仅当λE-A相似于λE-B
A B C D
D
[考点] 特征值与特征向量
[解析] 选项A,B错误.
取
显然
不可逆,但
可逆,排除A;又显然r(AB)<2,但r(A)=2,排除B;
选项C错误.取
则r(A)=r(B)=2,但显然B对应的线性方程组Bx=0有三个未知量,而A对应的线性方程组Ax=0有两个未知量,故Ax=0,Bx=0不可能同解!即使B为n阶矩阵,C亦不成立;如取
选项D正确.若A相似于B,则存在可逆矩阵P,使得P
-1AP=B,于是
P
-1(λE-A)P=λE-P
-1AP=λE-B
即λE-A相似于λE-B;
反之,若λE-A相似于λE-B,即存在可逆矩阵P,使得
P
-1(λE-A)P=λE-B
整理得
λE-P
-1AP=λE-B
即P
-1AP=B.
10. 设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是______.
- A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
- B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
- C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
- D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解
A B C D
D
[解析] 方程组
只有零解,而
无解,故A不对;
方程组
有非零解,而
无解,故B不对;
方程组
无解,但
只有零解,故C不对;
若AX=b有无穷多个解,则
,从而r(A)<n,故方程组AX=0一定有非零解,选D.
二、填空题1.
e
[解析]
2. 设y=ln(1+3
-x),则dy=______.
[解析]
4.
5.
[解析]
6. A是三阶矩阵,ξ,α,β是三个三维线性无关的列向量,其中Ax=0有解ξ,Ax=β有解α,Ax=α有解β,则A~______.
[解析] ξ,α,β线性无关,都是非零向量,Ax=0有解ξ,即Aξ=0=0ξ,故A有λ
1=0,(对应的特征向量为ξ),又Ax=β有解α,即Aα=β,Ax=α有解β,即Aβ=α,且A(-β)=-α.从而有
A(α+β)=β+α=(α+β)
(A(α-β)=β-α=-(α-β)
故知A有λ
2=1,λ
3=-1,(α+β,α-β均是非零向量,是对应的特征向量),三阶矩阵A有三个不同的特征值,0,1,-1.故
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 求常微分方程初始值问题
的解.
思路一:将y看成自变量,x看成是y的函数,则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性微分方程
此方程的通解为
由初始条件得C=e,所求特解为x=ey-ye
y.
思路二:
2. 设函数y=y(x)是由方程2y
3-2y
2+2xy-x
2=1确定的.求y=y(x)的驻点,并判定其驻点是否为极值点.
解:将2y
3-2y
2+2xy-x
2=1两边对x求导,有
6y
2y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0
得
令y'=0,得y=x,将y=x代入原方程,得
2x
3-2x
2+2x
2-x
2=1
即
(x-1)(2x
2+x+1)=0
得驻点x=1.
将6y
2y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0两边对x求导,得
12y(y')
2+6y
2y"-4(y')
2-4yy"+2y'+2y'+2xy"-2=0
将x=y=1及y'|
x=1=0代入上式,得
,所以y=y(x)在x=1处取得极小值.
[考点] 一元函数微积分
3. 设A是三阶矩阵,其三个特征值为
,求|4A
*+3E|.
解:
,A
*的特征值为
,4A
*+3E的特征值为5,1,2,于是|4A
*+3E|=10.
[考点] 特征值与特征向量
4. 已知
在x>0时有二阶连续导数,且满足
求z的表达式.
[解]由
有
所以
原方程化为(1+u
2)f"+2uf'=0,
其中
f中的变量为u,解上述方程,得
即
解得f=C
1arctanu+C
2.
即
x>0,其中C
1,C
2为任意常数.
5. 设y(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足
的解.求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.
解:由2xy'-4y=2lnx-1可变形为一阶线性微分方程
由求解公式得
其中C为任意常数.又由于
,将其代入上式有
因此,y(x)在[1,e]上的弧长为
[考点] 用定积分求平面曲线的弧长.
[解析] 解一阶线性微分方程确定曲线方程,求解曲线弧长.
6. 证明:f(x)=|x|
3在x=0处的三阶导数f"'(0)不存在.
证明:f(x)=|x|
3=sgnx·x
3,因此
而f"'
-(0)=-6,所以f"'(0)不存在.
[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)