一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设sinxln|x|是f(x)的一个原函数,则不定积分∫xf'(x)dx=
A.
B.
C.
D.以上均不正确.
A B C D
B
[解析]
其中
,
因此选B.
3. 设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在δ>0,使得
- A.f(x)在(0,δ)内单调增加.
- B.f(x)在(-δ,0)内单调减少.
- C.对任意的x∈(0,δ),有f(x)>f(0).
- D.对任意的x∈(-δ,0),有f(x)>f(0).
A B C D
C
[解析] 因为
所以由函数极限的局部保号性,存在δ>0,在区间(-δ,0)∪(0,δ)内
.故对于任意的x∈(0,δ),有f(x)-f(0)>0,即f(x)>f(0).选项C正确.同时也就看出选项D是错的:当x∈(-δ,0)时,应有f(x)-f(0)<0,即f(x)<f(0).
不少考生选A,其错误在于以函数在一点处的导数符号来确定函数在一个区间上的单调性.例如
满足题设条件且
,当x≠0时,
.显然,当
,即在任何(0,δ)内都有点x
n使f'(x
n)<0,函数不可能单调增加,即A错.类似,选项B也是错的.
(1)本题若是加强条件为“设函数f(x)在x=0处具有一阶连续导数,…”,则此时A便是正确的.这是因为对连续函数而言,一点大于0,可以保证附近的点的函数值都是大于0,于是在这种情形下有,
,对x∈(x
0-δ,x
0+δ),有f'(x)>0.
(2)单纯的一点导数大于0,不能推出函数的单调性,但一点的导数大于0,有一个基本不等式需要知道:
,对x∈(x
0,x
0+δ),有f(x)>f(x
0);对x∈(x
0-δ,x
0),有f(x)<f(x
0),当f'(x
0)<0有着与上面相反的结论.(用函数的局部保号性容易验证,在此省去)
5. 设函数
则g[f(x)]=
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 根据g(x)的定义知,复合函数
而x<0时,f(x)=x
2>0;x≥0时,f(x)=-x≤0.故
10. 设A为秩是r的m×n矩阵,非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是
A B C D
A
[解析] 因为A是m×n矩阵,r(A)=m说明A的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,故增广矩阵(A,b)的m个行向量也必线性无关.因此,
,即方程组Ax=b必有解.但方程组有解时,并不要求秩必为优.所以A是充分条件.那么B、C、D错在何处?
当m=n时,A是秩为r的n阶矩阵,由于增广矩阵的秩不能保证必是r,因此推导不出方程组必有解;
当r(A)=n时,增广矩阵的秩
有可能是n+1,因此不能保证Ax=b必有解.(注意A是m×n矩阵,m有可能大于n)你能举个反例吗?
当方程个数小于未知数个数时,Ax=b是否有解仍是不确定的.所以B、C、D均不是方程组有解的充分条件.
二、填空题1. 设y=y(x)可导,y(0)=2,令Δy=y(x+Δz)-y(x),且
,其中α是当Δx→0时的无穷小量,则y(x)=______.
[解析] 由
,得
,或者
,解得
,再由y(0)=2,得C=2,所以
.
2. 函数
的值域区间是______.
[1,+∞)
[解析] y(x)在(1,+∞)连续,求f(x)的值域区间,归结为分析y(x)的单调性并求
为y(x)在(1,+∞)上的最小值.又
因此y(x)的值域区间是[1,+∞).
3.
4. 微分方程y"+y=-2x的通解为______.
y=-2x+C1cosx+C2sinx,其中C1,C2为任意常数.
[解析] 特征方程为r
2+1=0,解得r
1=i,r
2=-i.
对应的齐次方程的通解为
易观察出该非齐次方程的一个特解为y
*=-2x.
则原方程通解为y=C
1cosx+C
2sinx-2x(其中C
1,C
2为任意常数).
5. 微分方程xdy-ydx=y
2e
ydy的通解是______.
x=Cy-yey
[解析] 对x是一次的,改写成
以y为自变量,这是一阶线性的,两边乘
,得
积分得
通解为x=Cy-ye
y.
6. 若线性方程组
有解,则常数a
1,a
2,a
3,a
4应满足条件______.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设f,g为连续可微函数,u=f(x,xy),v=g(x+xy),求
解:
所以
2. 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=f(x,1)=0,
,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分
解 因为f(1,y)=0,f(x,1)=0,所以
f'
y(1,y)=0,f'
x(x,1)=0,
从而
3. 设L:
(x≥0,y≥0),过L上一点作切线,求切线与抛物线所围成面积的最小值.
[解] 首先求切线与坐标轴围成的面积,
设M(x,y)∈L,过点M的L的切线方程为
.
令Y=0,得
,切线与x轴的交点为
;
令X=0,得
,切线与y轴交点为
,
切线与椭圆围成的图形面积为
其次求最优解.
方法一:设
令
由
,得λ=-1(λ=1舍去),
代入①,得
,再代入③,得
于是最小面积为
方法二:由①,②,得
,x=-2λy,
两式相除,得
,或
,代入③,得
于是最小面积为
方法三:令
当
时所围成的面积的最小,且最小值为
4. 设z=z(x,y),由方程
确定(F为可微函数),求
解:
两边关于x求偏导得
两边关于y求偏导得
解得
故
5. 证明:若f(x)为[0,1]上的连续函数,且对一切x∈[0,1],有
,则f(x)≡0.
证明:显然f(0)=0.对任意x
0∈(0,1),由积分中值定理
其中0≤ξ
1≤x
0.而f(x)在[0,1]上连续,所以f(x)在[0,1]上存在最大值M.对于ξ
1,
有
,其中0≤ξ
2≤ξ
1,所以
依次类推,可知存在ξ
n∈[0,x
0],使得
.而
,所以f(x
0)=0.又因为f(x)在x=1处左连续,所以
.
综上,对于一切x∈[0,1],有f(x)≡0.
[考点] 一元函数微积分
6. 若
满足
,其中f(u)有连续的二阶导数,求z.
[解]
同理可得
所以
令
于是uf"(u)+f'(u)=0.(uf'(u))'=0
即