一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设函数f(x)=arctanx,若f(x)=xf'(ξ),则
______.
A.1
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)
[解析]
,故
.又因为
故选D.
3. 设函数y=f(x)具有二阶导数,且f'(x)<0,f"(x)<0,Δx为自变量x在点x
0处的增量,Δy与dy分别为f(x)在点x
0处对应的增量与微分,若Δx<0,则
- A.0<dy<Δy.
- B.0<Δy<dy.
- C.Δy<dy<0.
- D.dy<Δy<0.
A B C D
B
[解析] 由于dy=f'(x
0)的Δx,而题中说f'(x)<0,故f'(x
0)<0.又由于Δx<0,所以有dy>0.
由于
.而题中说f"(x)<0,这说明对于定义域内的任意一个点来说,都有f"(x)<0,所以f"(ξ)<0.由于
,f"(ξ)<0,(Δx)
2>0,所以
,从而Δy-dy<0,即Δy<dy.
又由于Δy=f(x
0+Δx)-f(x
0),题中说Δx<0,说明x
0+Δx<x
0,而f'(x)<0,说明f(x)为减函数,所以Δy>0.
综上,有0<Δy<dy.
5. 设向量α
1,α
2,α
3线性无关,向量β
1可由α
1,α
2,α
3线性表示,而向量β
2不能由向量α
1,α
2,α
3线性表示,则对于任意常数k,必有
- A.α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关.
- B.α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关.
- C.α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关.
- D.α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关.
A B C D
A
[解析] 取k=0时,B和C都错.而取k≠0时,D亦错.
不妨取k=1,若α1,α2,α3,β1+β2线性相关,则由于α1,α2,α3线性无关,β1+β2必可由α1,α2,α3线性表示;又β1可由α1,α2,α3线性表示,所以β2可由α1,α2,α3线性表示,与题设矛盾.所以A是正确的.事实上,设
λ1α1,λ2α2,λ3α3+λ4(kβ1+β2)=0.
若λ4=0,则由α1,α2,α3线性无关,必有λ1=λ2=λ3=0,从而α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关;
若λ4≠0,则kβ1+β2可由α1,α2,α3线性表示,从而β2可由α1,α2,α3线性表示,与题设矛盾.总之α1,α2,α3,kβ1+β2是线性无关的.
7. 已知
,则代数余子式A
21+A
22=
A B C D
B
[解析] 对行列式|A|按第2行展开,有
2A
21+2A
22+A
23+A
24=9. ①
构造行列式
则|A|和|B|第2行元素代数余子式相同.对|B|按第2行展开,义有
A
21+A
22+2A
23+2A
24=|B|=0. ②
联立①,②可得A
21+A
22=6.故选(B).
作为复习,请你求解:设n阶矩阵
试求:(Ⅰ)|A|中所有元素的代数余子式之和,即
(Ⅱ)|A|中第k行元素代数余子式之和,即
[分析] 直接求|A|中代数余子式之和比较麻烦.由于A的伴随矩阵A
*=(A
ij)
n×n=|A|A
-1,因此只要计算出|A|和A
-1,就可以通过A
*=|A|A
-1求代数余子式之和.
(Ⅰ)按照第1列最后一个元素展开,可得
将矩阵A分块求逆矩阵A
-1.
其中
根据分块矩阵求逆公式,有
于是
所以
(Ⅱ)根据第(Ⅰ)小题结果,由于
因此
8. 设区域D:x
2+y
2≤1,则
可以化成的累次积分为
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 因为区域D:x
2+y
2≤1关于x轴,y轴均对称,函数f(x
2+y
2)关于y,x都是偶函数,所以
其中D
1:x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0.作极坐标变换并化为累次积分得
选C.
若先y后x化为累次积分是
9. 设f(x)为不恒等于零的奇函数,且f'(0)存在,则函数
______.
- A.在x=0处左极限不存在
- B.在x=0处右极限不存在
- C.有跳跃间断点x=0
- D.有可去间断点x=0
A B C D
D
[考点] 函数的性质及间断点的定义.
[解析] 利用奇函数的性质及函数极限判断间断点的类型.
因为f(x)是不恒为零的奇函数,且f'(0)存在,则f(0)=0.
对于
,显然在x=0处无定义,必为间断点,又
故x=0为g(x)的可去间断点.故应选D.
当遇到有关奇函数的问题时,不要忘记奇函数若在x=0处有定义,则知函数值为零.
10. 设A为n阶可逆矩阵,λ为A的特征值,则A*的一个特征值为______.
A.
B.
C.λ|A|
D.λ|A|
n-1 A B C D
B
[解析] 因为A可逆,所以λ≠0,令AX=λX,则A*AX=λA*X,从而有
,选B.
二、填空题1. 设函数z=z(x,y)由方程(x+y)
x=xy确定,则
2(1-ln2)
[考点] 多元隐函数的求导法则.
[解析] 本题可利用
来计算.
由题目易知z(1,2)=0.记F(x,y,z)=(z+y)
x-xy,则
在利用
,应理解
的含义.
2. 设三阶方阵A,B满足A
2B-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵,若
则|B|=______.
[解析] 由A
2B-A-B=E得
(A
2-E)B=A+E,即(A+E)(A-E)B=A+E.
而
为可逆矩阵,所以有
(A-E)B=E,
由此得B=(A-E)
-1.
又
故|A-E|=2,
因此
3.
[解析] 积分区域如图所示,并用极坐标,得
4.
5. 设α=(-1,2,5),β=(3,-6,-15),向量β是否可以由α线性表出?______
β=-3α,因此β可以由α线性表出.
[考点] 向量
6.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为
时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常量ρ,单位为kg/m
3.)
解 如图所示建立坐标系,则油罐底面椭圆方程为
.图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形.记S
1为下半椭圆面积,则
.
记S
2是位于x轴上方阴影部分的面积,则
设y=bsint,则dy=bcostdt,
于是油的质量为
2. 设函数f(x)=x
4+x
3-1.求f(x)全部零点的个数,并估计每个零点所在区间,使估计区间的长度不超过0.5.
首先,因为f(0)=-1<0,
所以在(-∞,0)和(0,+∞)内至少各有一个零点.又f'(x)=4x
3+3x
2=x
2(4x+3),只有两个驻点x
1=0,
且
x
|
|
|
|
0
|
(0,+∞)
|
→+∞
|
f'(x)
|
负
|
0
|
正
|
0
|
正
|
|
f(x)
|
↘
|
|
↗
|
f(0)<0
|
↗
|
+∞
|
在
内有一个零点;在(0,+∞)内有一个零点,共有两个零点.
因为f(-2)=7>0,f(-1)=-1<0,
所以在区间
中有一个根.又由f(1)=1>0,f(0)=-1<0,
所以在区间
中有另一个根.
3. 设D是由曲线
围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
解 设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,表面积为S,则
4. 设平面区域D由曲线(x
2+y
2)
2=x
2-y
2(x≥0,y≥0)与x轴围成,计算二重积分
解:
[考点] 二重积分的计算.
[解析] 本题可利用极坐标来计算二重积分.
双纽线是常用曲线,考生应掌握其方程和图形.
设一长度为1的非均匀细直杆,其上一点x∈[0,1]处的线密度分布函数μ=ρ(x)满足关系式:ρ(0)=0,ρ'(1)=1,当u=ρ(xyz)时,.求:5. ρ(x);
解:由u=ρ(xyz),得u'
x=yzρ',u"
xy=zρ'+xyz
2ρ",
u"'
xyz=ρ'+3xyzρ"+x
2y
2z
2ρ"'.
由已知等式得3xyzρ"+ρ'=0,记xyz=t,即3tρ"(t)+ρ'(t)=0.
故
,即
,由ρ'(1)=1得C=1.
,
由ρ(0)=0得C
1=0,即
设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶实对称矩阵,C为m×n矩阵.7. 计算P
TDP,其中
,E
m,E
n分别为m阶,n阶单位矩阵;
解:因
,有
8. 利用上小题的结果判断矩阵B-C
TA
-1C是否为正定矩阵,并说明理由.
解:矩阵B-C
TA
-1C是正定矩阵.
事实上,由|P|=1知矩阵P可逆,由上小题的结果可知,矩阵D合同于矩阵
又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵.
直接验算知B-C
TA
-1C为对称矩阵.
对x=(0,0,…,0)
T及任意的y=(y
1,y
2,…,y
n)
T≠0,有
故B-C
TA
-1C为正定矩阵.
[考点] 本题主要考查分块矩阵的运算以及正定矩阵的判定.第一问直接利用分块矩阵的运算法则进行计算;第二问是讨论抽象矩阵的正定性,一般用定义.