证法1 因为f(x)是区间[-1,1]上的奇函数且有2阶导数,所以f'(x)是偶函数,故
f'(-ξ)=f'(ξ)=1.
令F(x)=[f'(x)-1]e
x,则函数F(x)可导,且F(-ξ)=F(ξ)=0.
根据罗尔中值定理,存在η∈(-ξ,ξ)
(-1,1),使得F'(η)=0.因为
F'(η)=[f"(η)+f'(η)-1]e
η且e
η≠0,
所以f"(η)+f'(η)=1.
证法2 因为f(x)是区间[-1,1]上的奇函数且有2阶导数,所以f(x)是偶函数.
令F(x)=f'(x)+f(x)-x,则函数F(x)在区间[-1,1]上可导,且
F(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1),
F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(1)-f(1)+1=f'(1),
根据罗尔中值定理.存在η∈(-1,1),使得F'(η)=0.
由F'(x)=f"(x)+f'(x)-1,知
f"(η)+f'(η)-1=0,即f"(η)+f'(η)=1.
证法3 因为f(x)是区间[-1,1]上的奇函数且有2阶导数,所以f'(x)是偶函数,f"(x)是奇函数.
由第一小题知,存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=1.
令F(x)=f"(x)+f'(x)-1,则
F(ξ)=f"(ξ)+f'(ξ)-1=f"(ξ),
F(-ξ)=f"(-ξ)+f'(-ξ)-1=-f"(ξ)+f'(ξ)-1=-f"(ξ).
当f"(ξ)=0时,f"(ξ)+f'(ξ)-1=0,即f"(ξ)+f'(ξ)=1.结论得证.
当f"(ξ)≠0时,F(ξ)F(-ξ)=-[f"(ξ)]
2<0.由于F(x)=[f'(x)+f(x)-x]',根据导函数的介值性质,存在η∈(-ξ,ξ)
(-1,1),使得
F(η)=0,即f"(η)+f'(η)-1=0.
故f"(η)+f'(η)=1.