一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设常数0<a<1,区域D由x轴,y轴,直线x+y=a以及x+y=1围成.
记
则I,J,K的大小关系是
- A.J<K<I.
- B.J<I<K.
- C.I<J<K.
- D.I<K<J.
A B C D
B
[解析] 在区域D上有0<x+y≤1,于是
ln
3(x+y)≤0≤sin
2(x+y)≤(x+y)
2≤(x+y),且它们互不恒等,连续,因此,它们在D上的积分值满足
应选B.
2. 设y"+2y'+3y=0,且y(0)=1,y'(0)=1,则
=______.
A.
B.
C.1
D.
A B C D
C
[考点] 常系数线性微分方程与反常积分的计算.
[解析] 通过求解微分方程的通解来确定反常积分的被积函数.
y"+2y'+3y=0的特征方程为r
2+2r+3=0,解得特征值
原方程的通解为
由于y(0)=y'(0)=1,因此
故选C.
这是有关微分方程与反常积分的综合性题目.
3. 设A是n阶矩阵,α是n维列向量,若秩
则线性方程组
A.Ax=α必有无穷多解.
B.Ax=α必有惟一解.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因A是n阶矩阵,
是n+1阶矩阵,有
所以
必有非零解.
4. 二重积分
可以写为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 二重积分的定限.
[解析] 本题应先根据已知积分限画出积分区域的图形,再用极坐标来定限.
由题意,积分区域在直角坐标系上表示为
即是由
与y=x所围成的图形.它在极坐标系上表示为
故选A.
7. 设奇函数f(x)在(-∞,+∞)内具有连续导数,则______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 积分上限函数的奇偶性.
[解析] 根据复合函数的奇偶性来判断.
因为f(x)为奇函数,所以f'(x)为偶函数.
又因为cosf(-x)=cos[-f(x)]=cosf(x),所以cosf(x)为偶函数,故而cosf(x)+f'(x)为偶函数.
记
,得F'(x)=cosf(x)+f'(x),可知F'(x)为偶函数,又因为F(0)=0,进而得
是奇函数,故应选A.
奇函数与偶函数的复合关系:奇函数与奇函数的复合为奇函数,偶函数与偶函数的复合为偶函数,偶函数与奇函数的复合为偶函数,可导的奇函数的导函数为偶函数,可导的偶函数的导函数为奇函数.
8. 具有特解y
1=e
-x,y
2=2xe
-x,y
3=3e
x的3阶常系数齐次线性微分方程是______
- A.y'''-y"+y'+y=0.
- B.y'''+y"-y'-y=0.
- C.y'''-6y"+11y'-6y=0.
- D.y'''-2y"-y'+2y=0.
A B C D
B
[解析] 解高阶常系数齐次线性微分方程,是通过解其特征方程确定微分方程的通解.本题是将此过程反过来使用:由给定的特解知特征方程的根为λ1=1,λ2=-1(2重),故特征方程是(λ-1)(λ+1)2=0,展开得
λ3+λ2-λ-1=0.
从而,微分方程为y'''+y"-y'-y=0,即选项B正确.
10. 设A,B均为n阶对称矩阵,下列结论错误的是______.
- A.AB为对称矩阵
- B.设A,B可逆,则A-1+B-1为对称矩阵
- C.A+B为对称矩阵
- D.kA为对称矩阵
A B C D
A
[考点] 矩阵
[解析] 选项A错误.取
,而
不是对称矩阵,故选A;
选项B正确.由(A
-1+B
-1)
T=(A
-1)
T+(B
-1)
T=(A
T)
-1+(B
T)
-1=A
-1+B
-1,得A
-1+B
-1为对称矩阵;
选项C正确.因(A+B)
T=A
T+B
T=A+B,得A+B为对称矩阵;
选项D正确.因(kA)
T=kA
T=kA,得kA为对称矩阵.
二、填空题1. 设
其中f,g均可微,则
2xyf'1
[解析]
2. 微分方程y"-3y'+2y=2e
x满足
的特解为______.
y=-3ex+3e2x-2xex
[解析] 特征方程为λ
2-3λ+2=0,特征值为λ
1=1,λ
2=2,y"-3y'+2y=0的通解为
y=C
1e
x+C
2e
2x.
令原方程的特解为y
0(x)=Axe
x,代入原方程为A=-2,原方程的通解为
y=C
1e
x+C
2e
2x-2xe
x 由
得y(0)=0,y'(0)=1,代入通解得C
1=-3,C
2=3,特解为y=-3e
x+3e
2x-2xe
x.
3. 设z=(1+x
2y)
xy2,则
-3xy2(1+x2y)xy2ln(1+x2y)
[解析] 由z=(1+x
2y)
xy2=e
xy2ln(1+x2y),易知
所以
4.
[解析]
5. 设A为m×n阶矩阵,B为m阶方阵,C为n×m阶矩阵,若A=BA,CB=O,且r(A)=m,则|AC-2B|=______.
(-2)m
[解析] 由A=BA,得
,又r(A)=m,可知B=E.
故由CB=O,得C=O,则|AC-2B|=|-2E|=(-2)
m.
6. 设
在x=0处连续,则常数a与b应满足的关系是______.
a=b.
[解析] 由于
,f(0)=a.要使f(x)在x=0处连续,则应有f(0
+)=f(0
-)=f(0),即a=b.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设
y'(1)=0.计算变限积分
使得结果中不含y"(x),也不含积分号;
[解]由分部积分,
2. 求微分方程
满足初始条件
y'(1)=0的特解.
[解]将方程
两边对x积分,从x=1到x=x,由上小题,得
故有
即
此为一阶线性微分方程,由通解公式,
由于
所以通解为
因为x=1时,
则有
所以
故所求的特解为
3. 已知平面区域
D={(x,y)||x|≤y,(x
2+y
2)
3≤y
4}.
计算二重积分
解:由于把(-x,y)代入D后D不变,故D关于y轴对称,从而
其中D
1是D位于y轴右侧的部分.
[考点] 二重积分的计算.
[解析] 本题可先利用二重积分的对称性,再利用极坐标来计算二重积分.
本题难以画出积分区域的图形,这是很多考生确定积分限时的障碍.
4. 设f(x)及g(x)在[a,b]上连续,f(x)≤g(x)且
,证明:在[a,b]上,f(x)≡g(x).
证1:设F(x)=f(x)-g(x),显然F(x)为[a,b]上的非正连续函数,且
.下面证F(x)≡0,x∈[a,b].
反证法.若F(x)≠0,则存在x
0∈[a,b],使得F(x
0)<0.
情况1:当x
0为端点时,不妨设x
0=a,即F(a)<0,由F(x)在x=a处连续可知,存在充分小的正数δ,使得当x∈[a,a+δ)时F(x)<0,则
与
矛盾.
情况2:当x
0不为端点时,设x
0∈(a,b),由F(x)在x=x
0处连续可知,存在充分小的正数δ,使得当
时F(x)<0,则
与
矛盾.故在[a,b]上,F(x)≡0,即f(x)≡g(x).
证2:设
,则F'(x)=f(x)-g(x)≤0,故F(x)在[a,b]上单调不增,于是0=F(a)≥F(x)≥F(b)=0,因此F(x)≡0,所以F'(x)≡0,即在[a,b]上,f(x)≡g(x).
[考点] 一元函数微积分
5. 设D是曲线
,直线x=a(a>0)及x轴所围成的平面图形,V
x,V
y分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积,若V
y=10V
x,求a值.
解:由题意可得
因为V
y=10V
x,所以
[考点] 一元函数微积分
6. 若f(x)在(-∞,+∞)内有二阶连续导数,证明对任意的a<c<b,都存在ξ∈(a,b),使得
证:
思路一:因为
所以(c-a)×式(2)+(b-c)×式(1)得
注:用到了二阶导函数f
"(x)的介值性质.
思路二:记
,则
设辅助函数
则F(a)=F(b)=F(c)=0,所以存在ξ∈(a,b),使得f
"(ξ)=0,即
f
"(ξ)(c-a)+K(a-c)=0.
故K=f
"(ξ).
思路三:设辅助函数
由φ(a)=φ(b)=φ(c)=0,可知
,使
7. 求不定积分∫x
3ln(1+x)dx.
[考点] 幂函数与对数函数(反三角函数)乘积的不定积分求解.
[解析] 分部积分法.
(1)形如∫xnlmxdx,取u(x)=lnmx,v(x)=xn.
(2)形如∫xnarctanxdx,∫xnarccotxdx,∫xnarcsinxdx,∫xnarccosxdx,取u(x)为反三角函数,v(x)=xn.