一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=f
'(0)=0,f
"(x)>0,曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在x轴上的截距为u(x),则
______.
A.1
B.2
C.
D.
A B C D
B
[解析] 曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f
'(x)(X-x),则
于是
故选B.
4. 设方程组
有解,则a
1,a
2,a
3,a
4应满足______.
- A.a1+a2+a3+a4=0
- B.a1+a2+a3+a4=1
- C.-a1+a2-a3+a4=0
- D.-a1+a2-a3+a4=1
A B C D
A
[考点] 线性方程组
[解析] 选项A正确.
因为原方程组有解,所以
,于是a
1+a
2+a
3+a
4=0.
6. 设
为某函数u(x,y)的全微分,u(x,y)有二阶连续偏导数,则______.
- A.a=1,b=0
- B.a=0,b=1
- C.a=-1,b=0
- D.a=0,b=-1
A B C D
A
[解析] 记
,
,则依题设,可知
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,
故
,
,又由于
,故
,即
由此可得a=1,b=0.故选A.
7. 设矩阵A的伴随矩阵
且ABA
-1=BA
-1+3E,其中E为四阶单位矩阵,则矩阵B为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析]
思路一:因|A
*|=|A|
n-1,由|A
*|=|A|
n-1=|A|
3=8,得|A|=2.
又(A-E)BA
-1=3E,有(A-E)B=3A,从而A
-1(A-E)B=3E,由此得
(E-A
-1)B=3E,即
亦即(2E-A
*)B=6E
又(2E-A
*)为可逆矩阵,于是
思路二:同思路一,得|A|=2.
又由AA
*=|A|E,对ABA
-1=BA
-1+3E先右乘A,再左乘A
*,得
A
*AB=A
*B+3A
*A,|A|B=A
*B+3|A|E
即
(2E-A
*)B=6E
于是
9. 设三阶矩阵A的特征值为0,1,-1,则下列结论中正确的个数为______.
①A不可逆;
②A的主对角线元素之和为0;
③A的特征值1,-1所对应的特征向量正交;
④Ax=0的基础解系中含有两个解向量.
A B C D
B
[解析] 因为|A|=0×1×(-1)=0,则A不可逆,所以①正确;
因为
,所以②正确;A的特征值1,-1所对应的特征向量一定线性无关,但未必正交,所以③错误;
因为A的三个特征值互异,所以A可相似对角化,则r(A)=2,因此Ax=0的基础解系中解向量的个数为3-2=1,所以④错误.故选B.
二、填空题1.
[解析]
2. 设f(x)二阶连续可导,且
,f"(0)=e,则
[解析] 由
得f(0)=0,f'(0)=1,
于是
3.
[解析]
4.
0
[解析]
,而
故e
0=1.
最后一步的极限
是使用洛必达法则计算,即
,这是一个重要极限,在后来考题中多次出现.
5. 设A,B为n阶方阵,且|A|≠0,则AB和BA相似,这是因为存在可逆矩阵P=______,使得P
-1ABP=BA.
6. 矩阵
的非零特征值是______.
4
[解析] 由
得A的特征值为λ
1=λ
2=0,λ
3=4,非零特征值为4.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.二次型经过正交变换化为标准形,求:1. 常数a,b.
[解] 令
,则f(x
1,x
2,x
3)=X
TAX,矩阵A的特征值为λ
1=5,λ
2=b,λ
3=-4,
由
得
,解得
从而
,特征值为λ
1=λ
2=5,λ
3=-4.
2. 正交变换的矩阵Q.
[解] 将λ
1=λ
2=5代入(AE-A)X=0,即(5E-A)X=0,
由
得λ
1=λ
2=5对应的线性无关的特征向量为
将λ
3=-4代入(λE-A)X=0,即(4E+A)X=0,
由
得λ
3=-4对应的线性无关的特征向量为
令
单位化得
所求的正交变换矩阵为
3. 设区域D={(x,y)|x
2+y
2≤1,x≥0},计算二重积分
解:记D
1={(x,y)|x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0},则
[考点] 二重积分的计算.
[解析] 本题可先利用二重积分的对称性,再利用极坐标来计算二重积分.
有时先利用对称性化简被积函数和积分区域,再计算二重积分可以减小计算量.
4. 已知函数d(x)在区间[a,+∞)上具有2阶导数,f(a)=0,f'(x)>0,f"(x)>0.设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(x
0,0),证明a<x
0<b.
解 曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线方程是y-f(b)=f'(b)(x-b),解得切线与x轴交点的横坐标
由于f'(x)>0,故f(x)单调增加.由b>a可知f(b)>f(a)=0.
又f'(b)>0,故
,即有x
0<b.
由拉格朗日中值定理得f(b)=f(b)f(a)=f'(ξ)(b-a),a<ξ<b.
因为f"(x)>0,所以f(x)单调增加,从而f'(ξ)<f'(b),故f(b)<(b-a)f'(b).
由此可知x
0-a>0,即x
0>a.
综上,a<x
0<b.
已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.5. 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
设α
1,α
2,α
3是方程组AX=β的3个线性无关的解,其中
则有A(α
1-α
2)=0,A(α
1-α
3)=0,则α
1-α
2,α
1-α
3是对应齐次线性方程组AX=0的解,且线性无关,否则,易推出α
1,α
2,α
3线性相关,矛盾.
所以n-r(A)≥2,即4-r(A)≥2
r(A)≤2.
又矩阵A中有一个二阶子式
所以r(A)≥2,因此r(A)=2.
6. 求a,b的值及方程组的通解.
因为
由r(A)=2,得
当a=2,b=-3时,对原方程组的增广矩阵
作初等行变换,即
先求对应齐次方程组的基础解系:
取x
3=1,x
4=0,得ξ
1=(-2,1,1,0)
T;
取x
3=0,x
4=1,得ξ
2=(4,-5,0,1)
T.
再求特解:
取x
3=0,x
4=0,得特解(2,-3,0,0)
T.
则所求通解为
7. 求不定积分
.
8. 计算二重积分
,其中
.
解:由题设知,积分区域D如图所示,将积分化为直角坐标系下的二重积分为
设x=sint,则