一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 2. 设f(x)在点x=a的某个领域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由于h→+∞时
,则
存在只能得出f(x)在a点的右导数存在,不能得出a点导数存在.B,C明显不对,这两个选项中的极限存在不能推导出
存在,故不能作为f(x)在x=a点可导的充分条件.
又
则应选D.
对B选项切勿这样处理:
因为这里不符合极限四则运算法则(
都未必存在),对C选项同理.
5. 曲线y=x
2 与曲线y=alnx(a≠0)相切,则a的值为______.
A B C D
C
[考点] 一点处导数的几何意义.
[解析] 根据已知函数的切线斜率求未知常数的值.
设y=x
2 与y=alnx(a≠0)相切的切点为(x
0 ,y
0 ),则
解得
,a=2e,故应选C.
函数f(x)在x
0 处导数的几何意义为:曲线y=f(x)在点(x
0 ,f(x
0 ))处切线的斜率k=f'(x
0 ).另外,当两条曲线相切时,经常的做法是根据已知条件先求出切点的坐标(x
0 ,y
0 ).
9. 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“
”表示“M的充分必要条件是N”,则必有
A.F(x)是偶函数
f(x)是奇函数.
B.F(x)是奇函数
f(x)是偶函数.
C.F(x)是周期函数
f(x)是周期函数.
D.F(x)是单调函数
f(x)是单调函数.
A B C D
10. 设函数f(x,y)在点(0,0)处连续,且
,则
A.fx (0,0)存在且不为零. B.fx (0,0)不存在. C.f(x,y)在点(0,0)处取得极小值. D.f(x,y)在点(0,0)处取得极大值.
A B C D
C
[解析] 由
存在可知
.根据极限的局部保号性,
由于
,在(0,0)的某一去心邻域内有
,即
f(x,y)>f(0,0).
根据极值定义,f(x,y)在(0,0)处取得极小值,故选C.
由于
,故排除A、B.
还可由
存在得到f(x,y)在点(0,0)处可微,这是由于
二、填空题 1. 若y(x)满足
且y(0)=y'(0)=0,则y(x)=______.
[解析] 因为
得新方程为
则
由y'(0)=0,得
则
2.
e
[解析]
3. 设3阶矩阵A的特征值为-1和0,且r(A+E)=1,则A
100 =______.
-A
[考点] 求矩阵的方幂.
[解析] 利用条件将A相似对角化,再求方幂.
因为r(A+E)=1,所以r(-E-A)=1,进而3-r(-E-A)=2,即属于-1的线性无关的特征向量有2个.
特别的,A
100 =-A.
6. 已知向量组α
1 =(1,2,-1,1),α
2 =(2,0,t,0),α
3 =(0,-4,5,-2)的秩为2,则t=______.
三、解答题 本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. 证明:函数
在区间(0,+∞)上单调递增.
证:
.令
,则
故函数g(x)在(0,+∞)上单调递减.
由于
,故
,所以f'(x)>0(x>0),故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)
2. 求
.
解:原式=
3. 设b>0,求x
0 ∈(0,b),使得由曲线
过点
的曲线
的切线以及直线x=b和y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V最小.
解:曲线
在点
的切线方程是
即
其中t∈(0,b).
所求问题等价于求此切线与直线x=b,y轴和x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积的最小值点.即求
在(0,b)的最小值点.
求V'(t)
因此,所求的
4. 求函数
在约束条件
下的最大值与最小值.
[解]求函数
在约束条件
下的最大值与最小值,等价于求函数v=x
2 +y
2 +z
2 在同样的约束条件下的最大值与最小值.令
F(x,y,z,λ,μ)=x
2 +y
2 +z
2 +λ(x
2 +y
2 -z)+μ(x+y+z-4),
由
得
2x+2λx+μ=0, ①
2y+2λy+μ=0, ②
2z-λ+μ=0, ③
x
2 +y
2 -z=0, ④
x+y+z-4=0. ⑤
①-②得(λ+1)(x-y)=0.若λ=-1,由①可得μ=0,由③得
与④式矛盾.故只能推得x=y.再由④,⑤两式,得(x
1 ,y
1 ,z
1 )=(1,1,2)或(x
2 ,y
2 ,z
2 )=(-2,-2,8).
由约束条件x
2 +y
2 -z=0及x+y+z-4=0可见,(x,y,z)只能在有限范围内变动,可见
在此范围内必存在最小值与最大值.所以
5. 设
确定y为x的函数,求
.
6. 设z=f(x
2 -y
2 ,e
xy ),其中f具有连续二阶偏导数,求
.
解