一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设f(x)在x=0处存在4阶导数,又设
则必有______
- A.f'(0)=1.
- B.f"(0)=2.
- C.f'''(0)=3.
- D.f(4)(0)=4.
A B C D
C
[解析]
法一 用佩亚诺泰勒公式.先考虑分母,
将分子f(x)在x=0处按佩亚诺余项泰勒公式展开至n=3,得
代入极限式,得
所以f(0)=0,f'(0)=0,f"(0)=0,f'''(0)=3.故应选C.
法二 分母用等价无穷小替换.
可见
不然与极限为1矛盾.用洛必达法则,得
可见,
不然,上式应为∞,与等于1矛盾.可以再用洛必达法则,
由题设,上式应为1,所以f'''(0)=3.
3. 设积分区域D={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则二重积分
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] D是如图所示的正方形区域,它关于原点对称,用直线x+y=0将D分成D
1与D
2(D
1,D
2关于原点对称),
对(x,y)是偶函数(f(-x,-y)=f(x,y)),于是
D
1关于y=x对称,用直线y=x将D
1分成D
11与D
12,D
1=D
11∪D
12,
于是
因此
选C.
4. 设A为三阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记
则______.
- A.C=P-1AP
- B.C=PAP-1
- C.C=PTAP
- D.C=PAPT
A B C D
B
[考点] 矩阵
[解析] 将A的第2行加到第1行得B,即
将B的第1列的-1倍加到第2列得C,即
因
故Q=P
-1,从而有C=BQ=BP
-1=PAP
-1,故应选B.
6. 设区域D是由y=x
2(0≤x≤1),y=-x
2(-1≤x≤0),y=1及x=-1所围成的平面区域,则
A B C D
C
[解析] 用y=x
2(-1≤x≤0)把D分割成D
1和D
2(如下图所示),其中
D
1={(x,y)|-1≤x≤1,x
2≤y≤1},
D
2={(z,y)|-1≤x≤0,-x
2≤y≤x
2}.
记
,根据二重积分的可加性,有
因为f(x)(-x,y)=-f(x,y),且D
1关于y轴对称,故
;因为f(x,-y)=-f(x,y),且D
2关于x轴对称,故
由于D
1关于y轴对称,D
2关于x轴对称,故D的面积就等于下图中阴影部分面积的2倍.于是
7. 把x→0
+时的无穷小量
排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小量,则正确的排列次序是______
- A.α,β,γ.
- B.α,γ,β.
- C.β,α,γ.
- D.β,γ,α.
A B C D
B
[解析] 解法1 因
所以γ是较α高阶的无穷小量,β是较γ高阶的无穷小量,即选项B正确.
解法2 α,β,γ阶数的高低次序与它们的导数α',β',γ'阶数的高低次序是一致的,现在考查α'=cosx
2,β'=tanx·2x,
,显然看出由低到高的次序是α',γ',β',则α,β,γ阶数由低到高的次序是α,γ,β,选B.
若是想到利用“变限积分的等价代换”,则本题会更简单,留给读者自练.
8. 已知四维向量组α
1,α
2,α
3,α
4线性无关,且向量β
1=α
1+α
3+α
4,β
2=α
2-α
4,β
3=α
3+α
4,β
4=α
2+α
3,β
5=2α
1+α
2+α
3.则r(β
1,β
2,β
3,β
4,β
5)=______
A B C D
C
[解析] 将表示关系合并成矩阵形式有
因4个四维向量α
1,α
2,α
3,α
4线性无关,故|α
1,α
2,α
3,α
4|≠0.A=[α
1,α
2,α
3,α
4]是可逆矩阵,A左乘C,即对C作若干次初等行变换,故有r(C)=r(AC)=r(β
1,β
2,β
3,β
4,β
5)
故知r(β
1,β
2,β
3,β
4,β
5)=r(C)=3,因此应选C.
9. 设
则f(x,y)在点O(0,0)处______
- A.两个偏导数均存在,且函数连续.
- B.两个偏导数均存在,函数不连续.
- C.两个偏导数均不存在,函数连续.
- D.两个偏导数均不存在,函数也不连续.
A B C D
A
[解析]
同理f'
y(0,0)=0.
由夹逼定理知
故f(x,y)在点O(0,0)处连续.
10. 设向量β可由向量组α
1,α
2,…,α
m线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α
1,α
2,…,α
m-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α
1,α
2,…,α
m-1,β,则______
- A.αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
- B.αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示.
- C.αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示.
- D.αm可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示.
A B C D
二、填空题1.
2. 设函数f(x)满足f"(x)+af'(x)+f(x)=0(a>0),且f(0)=m,f'(0)=n,则
am+n
[考点] 常系数齐次线性方程的求解,反常积分的计算.
[解析] 由于根据参数a的不同取值,特征方程解的情况不同,故应按a的不同范围进行分类讨论.
对于r
2+ar+1=0,有:
当a
2-4>0,即a>2时,
且
当a
2-4=0,即a=2时,r
1=r
2=-1,故f(x)=(C
1+C
2x)e
-x,且
当a
2-4<0,即0<a<2时,
于是,
针对方程y"+py'+qy=0的解y(x),若
,则
3. 已知函数y=y(x)由方程y-xe
y=1-ex确定,则
0
[解析] 将方程y-xe
y=1-ex两边对x求导,得
则
当x=0时,y(0)=1,
4. 设向量组α
1=(a,0,c),α
2=(b,c,0),α
3=(0,a,b)线性无关,则盘a,b,c必满足关系式______.
5.
6. 设方程x=y
y确定y是x的函数,则dy=______.
三、解答题本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设三角形三边的长分别为a,b,c,此三角形的面积为S.求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值,并求出这三个相应的距离.
[解]设P为三角形内的任意一点,该点到边长分别为a,b,c的边的距离分别为x,y,z.由三角形的面积公式有
求f=xyz在约束条件ax+by+cz-2S=0下的最大值,令
W=xyz+λ(ax+by+cz-2S),
由拉格朗日乘数法,
解得唯一驻点为
显然,当P位于三角形的边界上时,f=0,为最小值;
当P位于三角形内部时,f存在最大值,由于驻点唯一,故当
时,f最大,
2. 求
的反函数.
解:当x>0时,由于y=1+x
2单调递增,因此其反函数存在,解出
,y>1;
当x=0时,y=0;
当x<0时,y=-1-x
2单调递减,其反函数亦存在,
,y<-1.
综上可得
即
[考点] 函数、极限
3. 设
,求F'(0).
解:设
,由
,因此可在t=0处补充定义f(0)=0,使得f(t)为[-1,1]上的连续函数,则
所以F'(0)=0.
[考点] 一元函数微积分
5. 设函数
,y=f(f(x)),求
解:
,其中f'(-1)=(2x-1)'|
x=-1=2,f'(0)=(2x-1)'|
x=0=2,所以
.同理可得
.
[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)
6. 证明:
[证明]