一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1. 若随机变量X的分布函数为F(x)=pF
1(x)+qF
2(x),其中F
1(x),F
2(x)为两个分布函数,常数p,q满足:p>0,q>0,p+q=1,那么X的分布叫作F
1(x),F
2(x)的混合分布.设μ
1,μ
2分别为F
1(x),F
2(x)的期望,
分别为F
1(x),F
2(x)的方差,则DX=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
,得
选C.
2. 已知级数
绝对收敛,级数
条件收敛,则______
A.
B.
C.1<α<3
D.
A B C D
D
[解析] 设
则当n→∞时,
的敛散性相同,故
而由
条件收敛可知0<3-α≤1,即2≤α<3.
若使两个结论都成立,只有
故选D.
3. 设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 连续与导数的定义.
[解析] 利用函数连续性,求某点的函数值.
由函数f(x)在x=0处连续得
.
对于选项A,
存在,则
,从而f(0)=0.
对于选项B,
存在,则
,从而f(0)=0.
对于选项C,
存在,f(0)=0,从而
存在,因此,选项A、B、C均正确.
事实上,若设f(x)=|x|,则
存在,但f(x)=|x|在x=0处不可导,因此选项D是错误的.故应选D.
函数的连续性和可导性是重点,也是难点,要熟记连续和可导的定义及其变形形式.
4. 设D是由直线x=-1,y=1与曲线y=x
3所围成的平面区域.D
1是D在第一象限的部分,则
等于______
A.
B.
C.
D.0.
A B C D
B
[解析]
选B.
5. 设A是3阶实对称矩阵,λ
1,λ
2,λ
3是A的三个特征值,且满足a≥λ
1≥λ
2≥λ
2≥b,若A-μE是正定阵,则参数μ应满足______
A B C D
B
[解析] A-μE的特征值为λ1-μ,λ2-μ,λ3-μ,且满足
a-μ≥λ1-μ≥λ2-μ≥λ3-μ≥b-μ.
当b-μ>0即μ<b时,A-μE的全部特征值大于等于正值,故A-μE是正定矩阵,应选B.
A中μ>b,即b-μ<0,A-μE的全部特征值大于等于负值,不能确定A-μE的正定性.
C中μ>a,即u-μ<0,A-μE的全部特征值小于等于负值,A-μE是负定矩阵.
D中μ<a,即a-μ>0,A-μE的全部特征值小于等于正值,不能确定A-μE的正定性.
6. 设y(x)是微分方程y"+(x-1)y'+x
2y=e
x满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的解,则
______.
A B C D
A
[解析] 微分方程y"+(x-1)y'+x
2y=e
x中,令x=0,则y"(0)=2,于是
,选A.
8. 设随机变量X与Y均服从正态分布,X~N(μ,4
2),Y~N(μ,5
2),记P
1=P{X≤μ-4},p
2=P{Y≥μ+5},则______
- A.对任意实数μ,都有P1=P2
- B.对任意实数μ,都有P1<P2
- C.只对μ的个别值,才有P1=P2
- D.对任意实数μ,都有P1>P2
A B C D
A
[解析] 用Φ代表标准正态分布N(0,1)的分布函数,有
由于Φ(-1)=1-Φ(1),所以p
1=p
2.
9. 设
,则极限
等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 两个重要极限、定积分换元法.
[解析] 利用定积分换元法求解数列通项a
n的表达式,并根据重要极限求解.
由题意得
则
故应选B.
利用重要极限是求极限的一个重要方法.读者要熟记两个重要极限及其相关变形形式:
(1)
(2)
二、填空题1. 设
则f'(x)=______.
[解析]
2. 设A=αα
T,其中α为三维列向量,且α
Tα=2,则行列式|E-A
n|=______.
1-2n
[解析] 由Aα=(ααT)α=2α可知A的一个特征值为2,又r(A)=r(ααT)=1,所以0是A的二重特征值.因此A的特征值为2,0,0,于是E-An的特征值为1-2n,1,1,故|E-An|=1-2n.
3. 积分
=______.
[考点] 有关三角函数的定积分计算.
[解析] 利用换元不变限公式.
利用不变限代换
,则
4. 设函数y=y(x)满足
,且y(1)=0,则
[解析]
如下图
5. 设随机变量X的概率密度为
随机变量Y服从参数为1的泊松分布,且X与Y独立,则D(XY)=______.
43
[解析] 由X的概率密度知
,则E(X-2)=3,得EX=5,D(X-2)=3
2,得DX=9,因Y~P(1),则EY=DY=1,故
D(XY)=E[(XY)
2]-[E(XY)]
2= E(X
2Y
2)-[E(XY)]
2 =E(X
2)·E(Y
2)-(EX·EY)
2 =[DX+(EX)
2][DY+(EY)
2]-(EX)
2·(EY)
2 =DXDY+DX(EY)
2+DY(EX)
2 =9×1+9×1
2+1×5
2=43.
6. 将一枚硬币重复掷五次,则正面、反面都至少出现两次的概率为______.
[解析] 这是独立重复试验概型,设X={掷五次硬币,正面出现的次数},则X~
而Y=5-X为5次中反面出现的次数.
记A={正面、反面都至少出现两次},则
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)设A,B都是三阶矩阵,满足AB=A-B.若λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,证明:1. λ
i≠-1(i=1,2,3);
[证明] 由于AB=A-B,故A-B-AB+E=E,即(A+E)(E-B)=E,从而A+E可逆且其逆是E-B,那么|A+E|≠0,知λ=-1不是A的特征值.
[解析] 要证λ=-1不是A的特征值,也就是要证|E+A|≠0,即A+E可逆.
2. 存在可逆矩阵C,使C
-1AC,C
-1BC同时为对角矩阵.
[证明] 由第一小题及可逆定义知(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E).
从而AB=BA.设Ax
1=λ
1x
1,Ax
2=λ
2x
2,Ax
3=λ
3x
3,由于λ
1,λ
2,λ
3是不同的特征值,故x
1,x
2,x
3线性无关,且
另一方面,因为AB=BA,有ABx
i=BAx
i=B(Ax
i)=λBx
i,i=1,2,3.
若Bx
i≠0,则Bx
i也是A关于λ
i的特征向量,且λ
i是单根,λ
i只有一个线性无关的特征向量,故必有Bx
i=μ
ix
i,知x
i是B关于μ
i的特征向量.
若Bx
i=0,则Bx
i=0x
i,知x
i是B关于λ=0的特征向量.
不论哪种情况,x
i都是B的特征向量,从而
可见C
-1BC=
.所以A,B可同时对角化.
[解析] 由于A有三个不同的特征值,设Ax
i=λ
ix
i(i=1,2,3),则x
1,x
2,x
3线性无关.用分块矩阵
即C
-1AC=
,可见要证C
-1BC=
,也就是要证x
i也是B的特征向量.
3. 已知实数a,b满足
求a,b.
解:令
则
要使上式极限存在,则有
求得a=1.
又
从而可得b=1.
综上所述:a=1,b=1.
设三阶矩阵A,B满足关系式AB=A-B且A有三个不同的特征值.
证明:4. AB=BA;
[证] 由题设
AB=A-B,①
知
AB-A+B-E=-E,
A(B-E)+(B-E)=-E,
(A+E)(E-B)=E. ②
即A+E,E-B互为逆矩阵,且
(E-B)(A+E)=E.③
从而得A-B-BA=O,④
由①,④式得证AB=BA.
5. 存在可逆阵P,使得P
-1AP,P
-1BP同时为对角阵.
[解] A有三个不同的特征值,故有三个线性无关的特征向量,设为ξ
1,ξ
2,ξ
3.则有
两边左乘B,
由第一小问知AB=BA,得
得A(Bξ
i)=λ
i(Bξ
i),i=1,2,3.
若Bξ
i≠0,则Bξ
i是A的属于特征值λ
i的特征向量,因λ
i是单根,故对应相同的特征值的特征向量成比例.故Bξ
i=μ
iξ
i.
若Bξ
i=0,则ξ
i是B的属于特征值0的特征向量.无论何种情况,B都有三个线性无关的特征向量ξ
i(i= 1,2,3).故A,B同时存在可逆阵P=(ξ
1,ξ
2,ξ
3),使得
6. 设u=f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和z=z(x)分别由方程e
xy-y=0和e
z-xz=0所确定,求
解:
方程e
xy-y=0两边关于x求导,有
方程e
z-xz=0两边关于x求导,有
于是
7. 某集邮爱好者有一个珍品邮票,如果现在(t=0)就出售,总收入为R
0元.如果收藏起来待来日出售,t年末总收入为R(t)=R
0e
ξ(t),其中ξ(t)为随机变量,服从正态分布
,假定银行年利率为r,并且以连续复利计息.试求收藏多少年后,再出售可使得总收入的期望现值最大,并求r=0.06时,t的值.
解:由连续复利公式,t年末售出总收入R的现值为:A(t)=R·e
-rt.
于是A(t)=R
0e
ξ(t)e
-rt=R
0e
ξ(t)-rt,
令
且
可见当
时,期望的现值(取到极大值)最大.若r=0.06,
8. 设n是奇数,A,B是n阶矩阵,且A
2=O,试判别矩阵AB-BA的可逆性.
解:记n=2k+1.由于A2=AA=O,所以A的列向量均为方程组Ax=0的解,从而A的列向量可由Ax=0的基础解系线性表示,即有r(A)≤n-r(A),这等价于
2r(A)≤2k+1.
进而r(A)≤k,于是
r(AB-BA)≤r(AB)+r(BA)≤r(A)+r(A)≤2k<2k+1=n.
这说明AB-BA不可逆.
[考点] 矩阵可逆性的判别.
[解析] 根据条件得到AB-BA的秩的范围,从而得到可逆性.
可逆性的判别是综合性很强的考点.
矩阵A可逆的充分必要条件有:
(1)|A|≠0;
(2)r(A)=n;
(3)AT可逆;
(4)Ak可逆;
(5)A*可逆;
(6)行向量组线性无关;
(7)列向量组线性无关;
(8)Ax=0只有零解;
(9)Ax=b有唯一解;
(10)特征值全不为零;
(11)A可写为初等矩阵的乘积;
(12)A与E等价;
(13)若AB=AC,必有B=C;
(14)若BA=CA,必有B=C.