一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1. 设φ
1(x),φ
2(x),φ
3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a
1(x)y'+a
2(x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为______.
- A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)
- B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)
- C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]
- D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x),其中C1+C2+C3=1
A B C D
D
[解析] 因为φ1(x),φ2(x),φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,
所以φ1(x)-φ3(x),φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解,
于是方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为
C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)
即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x),其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1,选D.
2. 设总体X服从N(μ
0,σ
2),μ
0已知,σ
2未知,X
1,X
2,…,X
n为来自X容量为n的样本,则检验假设H
0:σ
2<
,(
已知)的拒绝域为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] μ
0已知,则统计量
所以拒绝域只能是A或B,又因为是单侧检验,所以选B.
3. 设线性无关的函数y
1(x).y
2(x).y
3(x)均是方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解,C
1.C
2是任意常数,则该方程的通解是______
- A.C1y1+C2y2+y3
- B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3
- C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3
- D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3
A B C D
D
[解析] 由于
C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3,其中y1-y3和y2-y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解,又y3是原方程的一个特解,所以(D)是原方程的通解.
5. 设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布N(0,1),考虑下列命题:
①X
2+Y
2服从χ
2分布;
②X/
服从t分布;
③X
2/Y
2服从F分布;
④X-Y服从正态分布,
其中正确的个数为______
A B C D
D
[解析] 本题考查统计量的分布问题——见到确定统计量分布问题,就要想到考查它的构成——想χ
2分布、t分布以及F分布定义的典型模式.
由题设条件与χ
2分布、t分布、F分布的定义和性质可知
又由正态分布的性质知,X-Y~N(0,2),故四个命题都正确.
注 题中的X和Y相互独立的条件不可缺少.
6. 设在[a,b]上f(x)>0,f'(x)<0,f"(x)>0,令
,S
2=f(b)(b-a),
,则______.
- A.S1<S2<S3
- B.S2<S1<S3
- C.S3<S1<S2
- D.S2<S3<S1
A B C D
B
[考点] 定积分的几何意义.
[解析] 利用函数图像性质求解.
如图所示,因为在[a,b]上,f(x)>0,f'(x)<0,f"(x)>0,所以在[a,b]上,f(x)为正、单减、凹的.
S
1为曲边梯形ABCD的面积,S
2为长方形ABCE的面积,S
3为梯形ABCD的面积,所以S
2<S
1<S
3.故选B.
7. 设总体X服从正态分布N(0,σ
2),
,S
2分别为容量是n的样本的均值和方差,则可以作出服从自由度为n-1的t分布的随机变量______
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A B C D
A
[解析] 由题设知Xi
~N(0,σ
2),
,
,
与S
2独立,所以
.
选择A.
8. 设f(x)连续,则在下列变上限积分中,必为偶函数的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之,但要注意,偶函数f(x)的原函数只有
为奇函数,因为其它原函数与此原函数只差一个常数,而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了),选项A中被积函数为奇函数,选项B,C中被积函数都是偶函数,选项D中虽不能确定为偶函数,但为非负函数,故变上限积分必不是偶函数.应选A.
9. 设f(x)为单调函数,且∫f(x)dx=F(x)+C,则∫f
-1(x)dx=______.
- A.xf-1(x)+C
- B.xf-1(x)+F(x)+C
- C.xf-1(x)-F[f-1(x)]+C
- D.F[f-1(x)]+C
A B C D
C
[考点] 反函数求不定积分.
[解析] 换元法求不定积分.
故选C.
单调函数必存在反函数,特别注意反函数的性质:若y=f(x),x=f
-1(y),则f[f
-1(y)]=y,f
-1[f(x)]=x.
10. 下列矩阵中,A和B相似的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据A和B相似的必要条件
(Ⅰ)r(A)=r(B).(Ⅱ)|A|=|B|.(Ⅲ)λ
a=λ
b.(Ⅳ)∑a
ii=∑b
ii.
易见A,B,D均不相似(理由依次为:秩,主对角线的和,特征值),所以选C.下面证明C的正确性:
知矩阵A的特征值为2,0,0,又因秩r(0E-A)=1,有n-r(0E-A)=2,即齐次方程组(OE-A)x=0有2个线性无关的解,亦即λ=0有2个线性无关的特征向量,从而
二、填空题1. 已知f(x)的一个原函数为ln
2x,则∫xf'(x)dx=______.
2lnx-ln2x+C
[考点] 原函数的定义及不定积分的计算.
[解析] 根据原函数的定义和分部积分法求解.
因为f(x)的一个原函数为ln
2x,所以
于是
∫xf'(d)dx=xf(x)-∫f(x)dx=2lnx-ln
2x+C.
2. 设二次型
在
条件下的最小值为0,则a=______.
a=2
[考点] 二次型的最值问题.
[解析] 求出特征值,在条件
下的最小值即为特征值的最小值.
二次型厂的矩阵
所以A的特征值为a,a+1,a-2.
因此最小值为a=2=0,故a=2.
本题用到了重要结论:若A的n个特征值满足λ
1≤λ
2≤…≤λ
n,则有λ
1x
Tx≤x
TAx≤λ
nx
Tx.特别的,当x
Tx=1时,二次型的最值即为特征值的最值.证明如下.
二次型f(x
1,x
2,…,x
n)=x
TAx可以经过正交变换x=Py化为标准形
故
3. 当x→0时,α(x)=kx
2与
是等价无穷小,则k=______.
[考点] 无穷小阶的比较.
[解析] 根据等价无穷小的定义,利用有理化求解极限.
由题意得
解得
.
对于含有无理式的极限求解,有理化是常用的方法.
4.
5. 已知ABC=D,其中
则B
*=______.
6. 设二维随机变量(X,Y)在xOy平面上由曲线y=x与y=x
2所围成的区域上服从均匀分布,则概率
______.
[解析] 由曲线y=x和y=x
2所围成的区域的面积为
所以(X,Y)的概率密度为
由此得
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)2. 若f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
试证:
f(x)≡0(-∞<x<+∞).
证:由
可知f'(x)=f(x),其通解为f(x)=ce
x,又f(0)=0,故f(x)≡0.
3. 求|z|在约束条件
下的最大值与最小值.
解:|z|的最值点与z
2的最值点一致,用拉格朗日乘数法,作
F(x,y,z,λ,μ)=z
2+λ(x
2+9y
2-2z
2)+μ(x+3y+3z-5).
令
解得
所以当x=1,
时,|z|=1最小;当x=-5,
时,|z|=5最大.
4. 设
证明:A=E+B可逆,并求A
-1.
证:因E和任何矩阵可交换(和B可交换)且B
4=O.故
(E+B)(E-B+B
2-B
3)=E-B
4=E.
故A=E+B可逆.且
A
-1=(E+B)
-1=E-B+B
2-B
3.
又
即得
6. 假设
求A的所有代数余子式之和.
解:先计算出
由于|A|=1,所以
A的所有代数余子式之和即为A
*所有元素之和为0.
7. 设随机变量X在[0,π]上服从均匀分布,求Y=sinX的密度函数.
解:方法一(公式法) 由题设条件
函数y=sinx在
上单调增加,在
上单调减少,其反函数分别为
x=arcsiny,0<y<1; x=π-arcsiny,0<y<1.
所以,当0<y<1时,
于是
方法二(分布函数法)
当y≤0时,F
Y(y)=P{Y≤y}=0,f
Y(y)=0;
当y≥1时,F
Y(y)=P{Y≤y}=1,f
Y(y)=0;
当0<y<1时,
于是