一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)2. 函数f(x,y)在点(x
0,y
0)处连续是函数f(x,y)在该点处存在偏导数的______
- A.充分但非必要条件.
- B.必要但非充分条件.
- C.充分必要条件.
- D.既不充分也不必要条件.
A B C D
D
[解析] 由二元函数f(x,y)在某点(x
0,y
0)连续性和可偏导性的关系可知:函数f(x,y)在点(x
0,y
0)处连续是函数f(x,y)在该点处存在偏导数的既不充分也不必要条件.
例如:函数f(x,y)=|x|+|y|在点(0,0)处显然连续,但偏导数不存在,所以函数在一点连续不是函数在该点偏导数存在的充分条件.
函数
满足f(x,0)≡0,f(0,y)≡0,从而在点(0,0)处
,故f(x,y)在点(0,0)处两个偏导数都存在,但当点(x,y)沿着直线y=kx趋于点(0,0)时,有
显然它随着k取值不同而不同,所以
不存在,自然f(x,y)在点(0,0)处不连续.
所以函数在一点连续又不是函数在该点偏导数存在的必要条件.故应选D.
评注:要注意多元函数在一点连续与偏导数存在和一元函数在一点连续与导数存在关系是不同的,一元函数在一点可导是该函数在这点连续的充分条件但不是必要的.
3. 累次积分
等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 积分所对应的直角坐标平面的区域为D:0≤x≤1,0≤y≤
,选D.
7. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则U=X,V=X+Y的联合概率密度为______
- A.f(u,v).
- B.f(u,u+v).
- C.f(u,u-v).
- D.f(u,v-u).
A B C D
D
[解析] F
UV(u,v)=P{U≤u,V≤v}=P{X≤u,X+Y≤v}
=P{X≤u,-∞<Y≤v-X}
故
,所以
.
8. 设总体X与Y都服从正态分布N(0,σ
2),已知X
1,…,X
m与Y
1,…,Y
n是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本,统计量
服从t(n)分布,则
等于______
A.1.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
9. 已知α
1,α
2,α
3,α
4为3维非零列向量,则下列结论:
①如果α
4不能由α
1,α
2,α
3线性表出,则α
1,α
2,α
3线性相关;
②如果α
1,α
2,α
3线性相关,α
2,α
3,α
4线性相关,则α
1,α
2,α
4也线性相关;
③如果r(α
1,α
1+α
2,α
2+α
3)=r(α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4),则α
4,可以由α
1,α
2,α
3线性表出.
其中正确结论的个数为______
A B C D
C
[解析] 如果α
1,α
2,α
3线性无关,由于α
1,α
2,α
3,α
4为4个3维向量,故α
1,α
2,α
3,α
4线性相关,则α
4必能由α
1,α
2,α
3线性表出,可知①是正确的.
令
则α
1,α
2,α
3,线性相关,α
2,α
3,α
4线性相关,但α
1,α
2,α
4线性无关.可知②是错误的.
由
[α
1,α
1+α
2,α
2+α
3]→[α
1,α
2,α
2+α
3]→[α
1,α
2,α
3],
[α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4]→[α
4,α
1,α
2,α
3]→[α
1,α
2,α
3,α
4],
可知
r(α
1,α
1+α
2,α
2+α
3)=r(α
1,α
2,α
3),
r(α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4)=r(α
1,α
2,α
3,α
4),故当r(α
1,α
1+α
2,α
2+α
3)=r(α
4,α
1+α
4,α
2+α
4,α
3+α
4)时,也有
r(α
1,α
2,α
3)=r(α
1,α
2,α
3,α
4),因此α
4可以由α
1,α
2,α
3线性表出.可知③是正确的.故选C.