一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1. 设A为4×5矩阵,且A的行向量线性无关,则______
A.A的列向量组线性无关
B.方程组Ax=b有无穷多解
C.方程组Ax=b的增广矩阵
的任意四个列向量构成的向量组线性无关
D.A的任意四个列向量构成的向量组线性无关
A B C D
B
[解析] 因为
,方程组Ax=b有无穷多解,故应选B.
4. 若级数
收敛,则______
A.
必收敛.
B.
未必收敛.
C.
必发散.
D.
.
A B C D
B
[解析] 设a
n=(-1)
n,显然
收敛,但
发散,且
.又设a
n=
,显然也有
收敛,且
收敛.所以
既可以是发散的也可以是收敛的,故选B.
评注:此题若改为
收敛且a
n≥0或
收敛且
=0则应选A.
6. 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1,且f"(x)>0,则______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 函数的凸性及定积分的几何意义.
[解析] 利用凹函数的性质及定积分的几何意义求解.
由f"(x)>0可知,f(x)在其定义域上是凹的,即有
f(x)<f(0)+[f(1)-f(0)]x=2x-1,x∈(0,1).
所以
.
同理
f(x)<f(0)+[f(0)-f(-1)]x=-1-2x,x∈(-1,0).
所以
,从而
,故选B.
本题主要考查凹函数图像的性质,以及结合函数图像的特点了解定积分的几何意义.
7. 设y(x)是方程y"+a
1y'+a
2y=e
x满足初始条件y(0)=1,y'(0)=0的特解(a
1,a
2均为常数),则______
- A.对于a2<1时,x=0是y(x)的极大值点
- B.对于a2<1时,x=0是y(x)的极小值点
- C.对于a2>1时,x=0不是y(x)的极大值点
- D.对于a2>1时,x=0是y(x)的极小值点
A B C D
B
[解析] 当y(0)=1,y'(0)=0时,微分方程为y"(0)=1-a2,所以当a2<1,即y"(0)>0时,x=0是极小值点,故选B.
本题考查的知识点是:函数极值点的判定.
8. 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因D是对称阵,必相似于对角阵,C有三个不同的特征值,能相似于对角阵.A,B的特征值均为λ=1(2重),λ=2(单根).当λ=1时,
只对应一个线性无关的特征向量。故A不能相似于对角阵.
而λ=1时,
有两个线性无关特征向量,故B能相似于对角阵,故选A.
9. 设f(x)=u(x)+v(x),g(x)=u(x)-v(x),并设
与
都不存在,下列论断正确的是______
A.若
不存在,则
必存在
B.若
不存在,则
必不存在
C.若
存在,则
必不存在
D.若
存在,则
必存在
A B C D
C
[解析] 令
当x→0时可排除A;令
当x→0时可排除B;令
当x→0时可排除D.
二、填空题1. 已知f(x)是三次多项式,且有
则
______.
[解析] 由题意知
f(x)=(Ax+B)(x-2a)(x-4a),
2. 已知
有三个线性无关的特征向量,则a=______.
-10
[解析] 先求矩阵A的特征值,由
知矩阵A的特征值是λ
1=1,λ
2=λ
3=2.
因为矩阵A有三个线性无关的特征向量,λ=2是二重特征值,故λ=2必有两个线性无关的特征向量,那么秩r(2E-A)=1.
所以a=-10.
3. 设
B≠O为三阶矩阵,且BA=O,则r(B)=______.
1
[解析] BA=O
r(A)+r(B)≤3,因为r(A)≥2,所以r(B)≤1,又因为B≠O,所以r(B)=1.
4. 设总体X~N(a,2),Y~N(b,2),且独立,由分别来自总体X和Y的容量分别为m和n的简单随机样本得样本方差
则统计量
服从的分布是______.
χ2(m+n-2)
[解析] 因为
由题设条件知,T
1和T
2分别服从自由度为m-1和n-1的χ
2分布且相互独立,所以T服从自由度为(m-1)+(n-1)=m+n-2的)χ
2分布.
5. 已知某厂生产x件产品的成本为
(元),若使平均成本最小,则应生产产品______件.
1000
[解析] 由
,得平均成本为:
对x求导,并令
,得
得x
1=1000,x
2=-1000(舍去).
又因为
所以x=1000时,
取极小值,亦即最小值.
所以生产1000件产品可使平均成本最小.
6. 已知X
1,X
2…,X
n为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本.记X=min(X
1,…,X
n-1)和Y=X
n则X的分布函数F
X(x)=______,Y的分布函数F
Y(y)=______和(X,Y)的联合分布G(x,y)=______.
1-[1-F(x)]n-1;F(y);{1-[1-F(x)]n-1}F(y)
[解析] 根据简单随机样本各分量Xi相互独立且与X同分布,有
Fx(x)=P{min(X1,X2…,Xn-1)≤x}=1-P{min(X1,X2…,Xn-1)>x}
=1-P{X1>x,X2>x,…,Xn-1>x}=1-P{X1>x}P{X2>x}…P{Xn-1>x}
=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]…[1-P{Xn-1≤x}]=1-[1-F(x)]n-1.
FY(y)=P{Xn≤y}=F(y)
G(x,y)=P{min(X1,…,Xn-1)≤x,Xn≤y}=P{min(X1,…,Xn-1)≤x}P{Xn≤y}
={1-[1-F(x)]n-1}F(y).
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1. 设向量组α
1,α
2,…,α
s线性无关,且可以由向量组β
1,β
2,…,β
t线性表示,证明:必存在某个向量β
j(j=1,2,…,t),使得向量组β
j,α
2,…,α
s线性无关.
证:反证法.假设不存在βj使得向量组βj,α2,…,αs线性无关,则对任何βj(j=1,2,…,t)都有βj,α2,…,αs线性相关.由于α1,α2,…,αs线性无关,所以它的部分组α2,…,αs也线性无关,从而由βj,α2,…,αs线性相关得βj(j=1,2,…,t)可由α2,…,αs线性表示.又已知α2,…,αs可由向量组β1,β2,…,βt线性表示,所以α2,…,αs与β1,β2,…,βt等价,从而r(β1,β2,…,βt)=r(α2,…,αs)=s-1.另外,由α1,α2,…,αs线性无关,且可以由向量组β1,β2,…,βt线性表示,可得s=r(α1,α2,…,αs)≤r(β1,β2,…,βt)=s-1,矛盾.
所以,必存在某个向量βj(j=1,2,…,t),使得向量组βj,α2,…,αs线性无关.
[考点] 线性相关性的证明.
[解析] 利用反证法.
线性相关性的证明是重点和难点,而且线性无关、线性相关、线性表示、等价等概念会综合考查.对于抽象的向量组,除了反证法,还可以考虑定义的方法.请参看下面题目.
向平面区域D:x≥0,0≤y≤4-x2内等可能地随机地投掷一点.求2. 该点到y轴距离的概率密度
解:平面曲域D如下图所示,其面积为
于是二维随机变量(X,Y)的联合密度为
随机点(X,Y)到y轴的距离即为随机变量X,其概率密度即为关于X的边缘概率密度f
X(x):
(0≤x≤2).
x取其他值时,f
X(x)=0.
3. 过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y=4-x
2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差
解:曲边梯形面积为图中阴影区域的面积,它为
下求面积即φ(X)的期望与方差:
[解析] 在平面区域内投掷一点其坐标视为二维随机变量(X,Y).又已知等可能地随机投掷,这就告诉我们(X,Y)在此区域内服从均匀分布.因曲边梯形面积可用X表示,应视为随机变量X的函数φ(X).需求E[φ(X)]与D[φ(X)].
设.X是2阶方阵.4. 求满足AX-XA=O的所有X;
解:用待定元素法求X设
,代入方程,得
得
取x
3=2k
1,得x
2=-k
1.取x
4=k
2,得x
1=k
2.
故
,其中k
1,k
2是任意常数.
5. 方程AX-XA=E,其中E是2阶单位阵,问方程是否有解?若有解,求满足方程的所有X;若无解,说明理由.
解:
,由第一小问得
故
显然方程组中第1个和第4个方程相互矛盾,故矩阵方程AX-X4=E无解.
6. 若u
0=0,u
1=1,
n=1,2,…,其中α,β是正实数,求
的值.
解:由
得
7. A,B为n阶矩阵且r(A)+r(B)<n.证明:方程组AX=0与BX=0有公共的非零解.
证:方程组
的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解.
因为
所以方程组
有非零解,故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解.
设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且满足等式8. 验证
解:求二元复合函数
的二阶偏导数
中必然包含f'(u)及f"(u),将
的表达式代入等式
中,就能找出f'(u)与f"(u)的关系式.
9. 若f(1)=0,f'(1)=1,求函数f(u)的表达式.
解:可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解.
在方程
中,令f'(u)=g(u),则f"(u)=g'(u),方程变为
这是可分离变量微分方程,解得
由初值条件f'(1)=1得C
1=1,所以,
两边积分得f(u)=lnu+C
2.
由初值条件f(1)=0得C
2=0,所以f(u)=lnu.