一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1. 设
,其中D:x
2+y
2≤a
2,则a为______.
A.1
B.2
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由
解得a=2,选B.
3. 设有2个袋子,各装r+b只球,其中红球r只,黑球b只.今从第1个袋子随机取一球,放入第2个袋子,再从第2个袋子再随机取一球.令
则______
- A.X1和X2独立,不同分布.
- B.X1和X2不独立,同分布.
- C.X1和X2独立,同分布.
- D.X1和X2不独立,不同分布.
A B C D
B
[解析] 由已知得X
1的分布为
X
2的分布是
因为
P{X
1=1,X
2=1}=P{X
1=1}P{X
2=1|X
1=1}
所以X
1,X
2不相互独立.
5. 设有3组二次型:
则二次型的矩阵彼此合同的有______
A B C D
B
[解析] 第①组.用配方法.
,
故A的秩为3,正惯性指数为2.
,
故B的秩为2,正惯性指数为2.
因r(A)≠r(B),所以A与B不合同.
第②组.f(x
1,x
2,x
3)=x
TAx与g(y
1,y
2,y
3)=y
TBy的矩阵分别为对角矩阵
有r(A)=r(B),A的正惯性指数等于B的正惯性指数.所以A与B合同.
第③组.f(x
1,x
2,x
3)=x
TAx的矩阵为
所以A的秩为3,正惯性指数为3.
又
,
故B的秩为3,正惯性指数为2.
因A的正惯性指数不等于B的正惯性指数,所以A与B不合同.
综上所述,只有第②组二次型矩阵合同.选B.
本题为了判别第①组、第③组二次型的矩阵是否合同,在计算矩阵的正惯性指数时,都采用了配方法化二次型为标准形,而没有利用求矩阵的特征值的方法.其实后者也是简便的,比如第③组的
的矩阵
因
,
故B的秩为3,正惯性指数为2,可推出相同结论.
本题第②组的矩阵A与B合同是用判别法判定的.能否找出可逆矩阵C,使得C
TAC=B?回答是肯定的.具体如下:
令
x
1=y
2,x
2=y
3,x
3=y
1, (*)
则
将(*)改写成矩阵形式
,
并将该式记为x=Cy,则|C|=1≠0,故C为可逆矩阵,且有
f(x
1,x
2,x
3)=x
TAx=(Cy)
TACy=y
T(C
TAC)y=y
TBy,
所以C
TAC=B,故所求的可逆矩阵为
为强调这个方法,读者不妨再做下面这个题目:
例 设3阶实对称矩阵
,
其中k
1,k
2,k
3均为大于0的任意常数.证明A与B合同.并求可逆矩阵C,使得C
TAC=B.
证:A所对应的二次型为
作线性变换,
,
则
将线性变换改写成矩阵形式
,
并将该式记为x=Cy,则
,所以C为可逆矩阵,且C
TAC=B,所以矩阵A与B合同,且所求的可逆矩阵为
6. 下列选项中错误的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 判断常数项级数的收敛性.
[解析] 可通过举反例得到错误的选项,也可通过级数收敛的性质排除正确的选项.
解法1 由性质“若原来的级数收敛,则加括号后所成的级数仍收敛”可知,选项A正确.
由性质“在级数中去掉有限项,不会改变级数的收敛性”可知,选项C正确.
由
可知
,从而
,选项D正确.故选B.
解法2 取u
n=(-1)
n,则可知选项B错误,故选B.
注意在抽象级数收敛性的选择题中,常用举反例的方法.
7. 设随机变量X~N(0,1),对给定的α(0<a<1),数u
α满足P{X>u
α}=α.若P{|X|≥x}=α,则x等于______
A.
B.
C.
D.u
1-α.
A B C D
A
[解析] 思路一:X~N(0,1),Φ(-x)=1-Φ(x).
思路二:由正态分布图可知
8. 设A是n阶可逆方阵(n≥2),A
*是A的伴随阵,则(A
*)
*=______
- A.|A|n-1A
- B.|A|n+1A
- C.|A|n-2A
- D.|A|n+2A
A B C D
C
[解析] AA
*=|A|E,得
A
*(A
*)
*=|A
*|E,(A
*)
*=|A
*|(A
*)
-1,
其中
故
10. 设某产品的成本函数C(Q)可导,其中Q为产量,若产量为Q
0时平均成本最小,则______
- A.C'(Q0)=0
- B.C'(Q0)=C(Q0)
- C.C'(Q0)=Q0C(Q0)
- D.Q0C'(Q0)=C(Q0)
A B C D
D
[解析] 平均成本函数
其取最小值时,则导数为零,即
从而C'(Q
0)Q
0-C(Q
0)=0,即C'(Q
0)Q
0=C(Q
0).
二、填空题1. 设A是n阶矩阵,满足A
5=0,则E-A可逆,且(E-A)
-1=______.
E+A+A2+A3+A4
[解析] A5=O,故-A5=O,两边加E,得
E-A5=E
左边分解因式,有(E-A)(E+A+A2+A3+A4)=E,
故(E-A)-1可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+A3+A4.
2. 设二维随机变量(X,Y)在
上服从均匀分布,则条件概率
1
[解析] G如下图的△OAB,它的面积
所以(X,Y)的概率密度为
由于关于Y的边缘概率密度
其中D如下图带阴影的三角形.
又
所以
3. 设随机变量X服从正态分布,其概率密度为f(x)=ke
-x2+2x-1(-∞<x<+∞),则常数k=______.
4. 设f(u)为连续函数,D是由y=1,x
2-y
2=1及y=0所围成的平面闭区域,则
0
[解析] 因积分域D关于y轴对称,被积函数xf(y
2)关于变量x是奇函数,故
5. 已知二次型
的秩为2,则二次型f(x
1,x
2,x
3)的规范型是______.
[考点] 二次型的规范型.
[解析] 求出特征值,即可得到规范型.
此二次型对应的矩阵为
因为二次型的秩r(f)=r(A)=2,由
可得c=3.再由A的特征多项式
求得二次型矩阵的特征值为0,4,9.
所以二次型的规范型为
.
6. 设常数a>0,双纽线(x
2+y
2)
2=a
2(x
2-y
2)围成的平面区域(如下图)记为D,则二重积分
[解析] 由于被积函数及积分区域D关于两坐标轴都对称,所以
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1. 证明线性方程组
(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组
(Ⅲ)是同解方程组.
证:令
方程组(Ⅰ)可写为AX=b,方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A
TY=0及
若方程组(Ⅰ)有解,则r(A)=r(
),从而
又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解,所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解;
反之,若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解,则
从而r(A)=r(
),故方程组(Ⅰ)有解.
2. 假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布,记
求:(1)U与V的联合分布;
(2)U与V的相关系数ρ.
如图所示
由题设可得
(1)(U,V)的可能取值为:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),相应概率为
(2)由上述可见UV及U和V的分布为
于是,有
设(X,Y)的分布函数为求:4. (X,Y)的概率密度;
解:(X,Y)的概率密度为
5. 边缘分布函数及边缘概率密度,并判断X和Y是否相互独立.
解:X,Y的边缘分布函数为
边缘密度函数分别为
因为f(x,y)=f
X(x)f
Y(y),故X和Y是相互独立的.
6. 设函数f(x)满足
,求f(x).
解:
原方程变为
从而有,
f'(x)+ae
x-f(x)+f
3(x)=ae
x,
f'(x)=f(x)=f
3(x),
令y=f(x)
而
而f(0)=a,得
(a≠1).
故当a≠1时,
即有
又在前面的积分过程中,提到y≠1,而当y=1时,由题设中的方程,
,1+e
x-1=ae
x,a=1,
因此,无论a≠1,还是a=1,总有
7. 设A为r阶方阵,B为r×n矩阵,r(B)=r,且AB=0,证明:A=0.
证:因为r(B)=r,所以矩阵B有r个线性无关的列向量,故经过初等列变换将B化成
的形式,其中B
1是r×r矩阵,B
2=0,r(B
1)=r,即存在可逆阵Q,使得BQ=B
1B
2.
由于AB=0,所以ABQ=A(
)=0,因而AB
1=0,两边同乘
,得A=0.
8. 设A为n阶正交阵,且A的特征值都大于零,证明:A*=A
T.
证:由A的特征值都大于零知|A|>0.又A为正交阵,故|A|=1,从而A*=|A|A-1=A-1=AT.
9. 将编号为1,2,3的三本书随意排列在书架上,求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率.
解:设A
i={第i本书正好在第i个位置},
B={至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同},则B=A
1+A
2+A
3,且
故P(B)=P(A
1)+P(A
2)+P(A
3)-P(A
1A
2)-P(A
1A
3)-P(A
2A
3)+P(A
1A
2A
3)=