一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)2. 设X是随机变量,EX>0且E(X
2)=0.7,DX=0.2,则以下各式成立的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
于是由切比雪夫不等式知
因此本题选(C).
3. 函数y=f(x)满足条件f(0)=1,f'(0)=0,当x≠0时,f'(x)>0,
则它的图形是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因函数单调增加,且在x=0处有水平切线,选B.
4. 设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数,f(1)=f(2)=0,F(x)=(x-1)
2f(x),则F"(x)在(1,2)内______
- A.没有零点.
- B.至少有一个零点.
- C.有两个零点.
- D.有且仅有一个零点.
A B C D
B
[解析] F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)
2f'(x).
由f(1)=f(2)=0,F(1)=F(2)=0,由罗尔定理,存在c∈(1,2),使得F'(c)=0.
再根据F'(1)=F'(c)=0,再由罗尔定理,至少存在一个点ξ∈(1,c)
(1,2),使得F"(ξ)=0,选B.
5. 设函数f(x)连续,且
,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的法线方程为______
- A.x+2y=0.
- B.x-2y=0.
- C.2x+y=0.
- D.2x-y=0.
A B C D
A
[解析] 由
,且f(x)连续,故f(0)=0.
从而法线斜率为
,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的法线方程为
.
故选A.
6. 设有方程组AX=0与BX=0,其中A,B都是m×n矩阵,下列四个命题:
(1)若AX=0的解都是BX=0的解,则r(A)≥r(B)
(2)若r(A)≥r(B),则AX=0的解都是BX=0的解
(3)若AX=0与BX=0同解,则r(A)=r(B)
(4)若r(A)=r(B),则AX=0与BX=0同解
以上命题正确的是______.
- A.(1)(2)
- B.(1)(3)
- C.(2)(4)
- D.(3)(4)
A B C D
B
[解析] 若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解,则n-r(A)≤n-r(B),从而r(A)≥r(B),(1)为正确的命题;显然(2)不正确;因为同解方程组系数矩阵的秩相等,但反之不对,所以(3)是正确的,(4)是错误的,选B.
7. 设级数
条件收敛,
,则______
A.级数
都发散.
B.级数
都收敛.
C.级数
收敛,
发散.
D.级数
发散,
收敛.
A B C D
A
[解析] 如果
与
都收敛,则由|u
n|=a
n+b
n,知
必收敛,排除B;
又a
n-b
n=u
n,若
收敛,
收敛,则
收敛,排除C.同理排除D.
选A.
8. 设X
1,X
2,…,X
8是来自总体N(2,1)的简单随机样本,则统计量
服从______
- A.χ2(2)
- B.χ2(3)
- C.t(2)
- D.t(3)
A B C D
C
[解析]
且它们相互独立,所以
所以由T与X相互独立得,
因此本题选C.
9. 齐次方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是
- A.A是n阶可逆矩阵.
- B.非齐次方程组Ax=b无解.
- C.A的列向量组线性无关.
- D.A的行向量组线性无关.
A B C D
C
[解析] 设A是m×n矩阵,则齐次方程组Ax=0只有零解
r(A)=n
A的列向量组线性无关.故应选C.
注意①方程组不一定是n个方程n个未知数,所以A是充分条件,不必要.
②方程组Ax=b无解
r(A)≠r
.此时r(A)可以为n也可以不等于n.
例如
都有方程组Ax=b无解.但齐次方程组
和
前者只有零解后者有非零解,所以B既不充分也不必要.
③请你举例说明D既不是充分条件也不是必要条件.
10. 设A,B,C是两两独立且不能同时发生的随机事件,且P(A)=P(B)=P(C)=x,则x的最大值为______
A.
B.1
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由题设P(AB)=P(AC)=P(BC)=x
2,P(ABC)=0,于是
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x
2,
而P(A+B+C)≥P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x
2,故有
3x-3x
2≥2x-x
2,解得
,故选A.
二、填空题1. 设
,A
*为A的伴随矩阵,矩阵B满足A
*B=A
-1+2B,则B=______.
[解析] 先将所给的矩阵方程化为以B为因子矩阵的方程.为此,先在方
B=
.
2. 微分方程
满足初值条件y(0)=0,
的特解是______.
[解析] 熟悉反函数的导数的读者知道,
原方程可化为x关于y的二阶常系数线性方程.将式①代入原方程,原方程化为
解得x关于y的通解为
以x=0时,y=0代入上式,得
0=C
1+C
2.
再将式②两边对y求导,有
x=0时,
代入上式,有
解得C
1=1,C
2=-1,于是得通解
3. 已知随机变量X服从自由度为n的t分布,则随机变量X
2服从的分布是______.
F(1,n)
[解析] 因为X~t(n),令
,其中u~N(0,1),v~χ
2(n),且u,v相互独立,于是
,其中u
2~χ
2(1).
4. 微分方程y"-3y'+2y=xe
x的通解为y=______.
,其中C
1,C
2为任意常数
[解析] 对应的齐次方程的通解为Y=C
1e
x+C
2e
2x,设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)e
x,代入原方程,得
,所以通解如答案所示.
5. 设f(x)为连续函数,a与m是常数且a>0,将二次积分
化为定积分,则I=______.
[解析] 被积函数仅是x的函数,交换积分次序即可完成一次定积分.由二次积分的积分限可知D为:0≤x≤y,0≤y≤a,故
6. 设y=(1+sinx)
x,则dy|
x=π=______.
-πdx
[考点] 微分的计算.
[解析] 幂指函数求导函数或微分的运算法则.
因为y=(1+sinx)
x=e
xln(1+sinx),所以
从而
,将x=π代入上式得dy|
x=π=-πdz.
另外,也可根据微分的运算法则求解,有
,所以dy|
x=π=-πdx,故应填-πdx.
对于幂指函数y=f(x)
g(x)[f(x)>0]的导数的求法,可利用对数求导法则,由y=f(x)
g(x)有lny=g(x)lnf(x),两边对x求导得
所以
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且1. 求F'(x)(x≠0);
解:将原式改写为
由变限积分的性质和可导性运算法则可知,当x≠0时,
[考点] 积分上限函数性质的应用.
[解析] 利用变限积分的可导性判断单调性.
对于变限积分
,还应知道F(a)=0,
2. 证明:F(x)在x=0处连续,且若f(x)在(-∞,+∞)内单调增加,则F(x)在(-∞,0]上单调增加,在[0,+∞)上单调减少;
证:现考察
即F(x)在x=0处连续.
再由第一小题问知,当x≠0时,
其中
.则有
当x>0时,
;
当x<0时,
.
于是
F'(x)<0(x>0),F'(x)>0(x<0).
因此,F(x)在(-∞,0]上单调增加,在[0,+∞)上单调减少.
[考点] 积分上限函数性质的应用.
3. 证明:F(x)在(-∞,+∞)内有连续的导数.
证:由变限积分的性质、连续性运算法则及当x≠0时F'(x)的表达式可知,当x≠0时F'(x)连续.又
故F'(x)在x=0处连续.
因此,F'(x)在(-∞,+∞)内连续.
[考点] 积分上限函数性质的应用.
设二维随机变量(X,Y)的分布密度为
5. 求常数c;
解:因为
所以
6. 当k=2时,求二维随机变量(X,Y)在以原点为圆心,r为半径的圆内的概率.
解:当k=2时,
于是当r≤2时,
当r≥2时,P{x
2+y
2≤r
2}=1
7. 设A,B为2阶实对称矩阵,且B可逆.若二次型f(x
1,x
2)=x
TAx和g(x
1,x
2)=x
TBx可经过同一个非退化线性替换x=Py而化为标准形,试证明|λB-A|=0的根都是实数.
证:
,这里a
1,a
2,b
1,b
2都是实数,
由|λB-A|=0可得(λb
1-a
1)(λb
2-a
2)=0.
由|B|≠0可得b
1b
2≠0,解得
均为实数.
[考点] 二次型化标准形.
[解析] 二次型化标准形等价于二次型的矩阵合同于一个对角矩阵.
二次型化标准形的过程实际上是实对称矩阵合同于对角矩阵的过程.特别的,如果是正交变换,则实对称矩阵与对角矩阵也是相似关系.
8. 证明二次型
不能经过同一个非退化线性替换化为标准形.
证:
,|λB-A|=-λ
2+λ-1=0,解得
由第一小题问题得证.
[考点] 二次型化标准形.
某种产品的寿命X服从指数分布,概率密度为(单位:年),产品每件售价0.6万元.厂家规定,若产品在一年内损坏,赔偿0.5万元,若在一年至平均寿命之间损坏,赔偿0.3万元,若达到或超过平均寿命,厂家不赔偿.9. 问售出一件产品,厂家的平均收入是多少?
解:设厂家售出一件产品收入为Y,由于X服从参数为5的指数分布,故E(X)=5(年),则
平均收入为
E(Y)=0.1×P(0<X≤1)+0.3×P(1<X<5)+0.6×P(X≥5),由于
,所以
10. 若某公司买了6件此种产品使用,问恰有2件在一年内损坏的概率.
解:因为p=P(X≤1)=1-e
-0.2=0.181.所以,由独立重复实验可知
11. 设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程
,求f(t).
解:由
知,f(t)连续,所以右边可导,
.
两边对t求导,得
,从而
在
中令t=0得f(0)=1,从而C=1,故
.
[考点] 二重积分的计算,微分方程的求解.
[解析] 本题可先计算,
中的二重积分,将其转化为一个含变限积分的等式.
本题具有一定的综合性,将二重积分的计算与微分方程的求解结合了起来.