一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)3. 设X
1,X
2,…,X
n是来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=1,下面说法中正确的是______
A.
B.
C.由切比雪夫不等式知
(ε为任意正数).
D.若μ为未知参数,则样本均值
既是μ的矩估计,又是μ的最大似然估计.
A B C D
C
[解析] 题中并没有正态分布条件,所以排除A,D.
B中,
C中,
故选C.
5. 设非负可微函数f(x)满足条件
收敛,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由于f'(x)≤0,所以f(x)为单调减函数.
由于
收敛,则
由夹逼定理可知
又当x≥1时,0≤f(x)≤xf(x),从而有
6. A是二阶矩阵,有特征值λ
1=1,λ
2=-1,B=A
3+A
2-A+E,则B=KE,其中K=______
A B C D
B
[解析] A
2×2有两个不同的特征值,故
即有可逆矩阵P,使
故B=A
3+A
2-A+E
=P(2E)P
-1=2E.
得K=2.
7. 设a,b是常数,数项级数
收敛的充分必要条件是______
- A.a=5,b=1.
- B.a=1,b=5.
- C.a=-5,b=1.
- D.a=5,b=-1.
A B C D
A
[解析] 该级数的通项为
,
若b≠1,则
,
级数发散.故取b=1.则通项成为
,
若a≠5,则当n→∞时,
发散,故取a=5.此时
,
所以
绝对收敛.选A.
8. 设f(x)=min{x
2,-3x+10},两个结果
中______
- A.①与②都错.
- B.①与②都对.
- C.①错②对.
- D.①对②错.
A B C D
C
[解析] 法一 第1步,写出f(x)的分段表达式,由两曲线y=x
2与y=-3x+10的图形及交点知,
第2步,由定积分的性质
经计算有
②对.所以选C.
法二 同法一的第1步,写出f(x)的分段表达式,由分段的f(x)求出分段的原函数:
第2步,从中去找出例如F(0)=0且F'(x)=f(x)的一个原函数F(x).为此,由于x=0∈[-5,2],故先从区间[-5,2]入手,由0=F(0)=0+C
2,
故C
2=0.再由x=-5处F(x)应连续,故
同理,考虑x=2处F(x)也应连续,故
故得区间(-∞,+∞)上的一个原函数
第3步,由定积分计算公式
9. 设f(x)在x
0的邻域内三阶连续可导,且f'(x
0)=f"(x
0)=0,f'''(x
0)>0,则下列结论正确的是______
- A.x=x0为f(x)的极大值点.
- B.x=x0为f(x)的极小值点.
- C.(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.
- D.(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点.
A B C D
C
[解析] 由f'''(x)连续,f'''(x
0)>0,于是由保号定理,存在δ>0,当x
0-δ<x<x
0+δ时,f'''(x)>0.
|
(x0-δ,x0)
|
x0
|
(x0,x0+δ)
|
f'''(x)
|
+
|
+
|
+
|
f''(x)
|
-
|
0
|
+
|
f'(x)
|
+
|
0
|
+
|
f(x)
|
∩
|
拐点
|
病
|
(x
0,f(x
0))为曲线y=f(x)的拐点,选C.
10. 设
等于______
A.0
B.1
C.
D.-1
A B C D
A
[解析] 由
故选A.
二、填空题1. 设g(x)处处连续,且
,则f'(0)=______.
0
[解析]
2.
[解析] 用分部积分法.
3. x
x(1+lnx)的全体原函数为______.
xx+C,其中C为任意常数
[解析] 因为(x
x)'=(e
xlnx)'=x
x(1+lnx),所以
4. 将一均匀的骰子连续扔六次,所出现的点数之和为X,用切比雪夫不等式估计P(14<X<28)=______.
[解析] 设X
i为第i次的点数(i=1,2,3,4,5,6),则
其中
则
由切比雪夫不等式,有
5. 设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则
0.6
[解析] 由P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3及P(A)=0.7,得P(AB)=0.4,则
.
6. 设f(x)是可导的偶函数,且
,则曲线y=f(x)在点(1,f(-1))处的法线斜率k=______.
-1
[考点] 导数定义及几何意义.
[解析] 利用导数的定义及偶函数的性质求解.
由题意可得
,所以f'(1)=-1.又f(x)是偶函数,其导函数为奇函数,所以f'(-1)=-f'(1)=1,故曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的法线斜率k=-1.故应填-1.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1. 计算不定积分
.
解:解法1 令t=arctanx,则
.
又由
∫e
tsintdt=∫sintde
t=e
tsint-∫e
tcostdt=e
tsint-e
tcost-∫e
tsintdt,
解得
,所以有
解法2
由此解得
.
[考点] 不定积分的综合运算.
[解析] 换元法结合分部积分法求不定积分.
在对复杂函数的不定积分求解时,应仔细分析被积函数的特点,利用恒等变形或变量代换简化解题过程.
设.求:2. 正交矩阵P,使得P
-1AP为对角矩阵.
解:由
得λ
1=a+2,λ
2=λ
3=a-1.
当λ
1=a+2时,
得特征向量为
当λ
2=λ
3=a-1时,
得特征向量为
令
,则
[考点] 实对称矩阵的正交相似对角化,正定矩阵的性质.
[解析] 第二小题问题先把C2对角化,再反求矩阵C.
本题第二小题问题本质上是相似对角化的应用问题,即已知相似对角化,反求矩阵.因此先把C2对角化,再反求矩阵C.
3. 正定矩阵C,使得C
2=(a+3)E-A.
解:
故
[考点] 实对称矩阵的正交相似对角化,正定矩阵的性质.
4.
解:因为
,所以
易得
不妨令
其中
的3n次多项式,注意到对任何正整数m,
,则有
所以对
,有f
(n)(0)=0.
[考点] 分段函数求高阶导数.
[解析] 分段函数在分界点处的导数用定义求解,用归纳法求高阶导数.
求解高阶导数可以先求1,2阶导数,然后再用数学归纳法求解.
设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
求:5. 常数c;
解:由联合概率密度的基本性质知
从而得
6. P{X+Y≥1};
解:由于在区域{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}外,f(x,y)=0,所以在区域{(x,y)|x+y≥1}上积分等价于在区域D上的积分(如图).
7. 联合分布函数F(x,y).
解:
当x<0或.y<0时,
当0≤x<1,0≤y<2时,
当0≤x<1,y≥2时,
当x≥1,0≤y<2时,
当x≥1,y≥2时,
综上所述,二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
求函数极限:8.
解:令x=t+1,则
[考点] 函数在一点处的极限求解.
[解析] 利用变量代换求解函数极限.
当x→x0≠0时的极限不易求解时,可先作变换,将t=x-x0化为t→0,再运用常用等价无穷小代换简化求解过程.
9.
10. 设f(x)在[a,b]上可导,且f'
+(a)f'
-(b)<0,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=0.
证:不妨设f'
+(a)<0,f'
-(b)>0,由导数定义可知,
由极限的局邵保号性可知,存在δ
1>0,当x∈(a,a+δ
1)时,f(x)<f(a);存在δ
2>0,当x∈(b-δ
2,b)时,f(x)<f(b).
又因为f(x)在[a,b]上可导,从而一定连续,故必有最小值.由以上所证可知,最小值点ξ在(a,b)内,因此由费马定理得f'(ξ)=0.
[考点] 导数定义、费马定理.
[解析] 根据导数的定义,利用极限的局部保号性,结合费马定理求解.