一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)2. 下列命题中不正确的是______.
- A.若函数f(x)在[0,1]上可导,则f(x)在[0,1]上连续
- B.若函数f(x)在[0,1]上连续,则f(x)在[0,1]上可积
- C.若函数f(x)在[0,1]上连续,则f(x)在[0,1]上存在原函数
- D.若函数f(x)在[0,1]上有界,则f(x)在[0,1]上可积
A B C D
D
[考点] 函数的原函数存在及可积的充分条件.
[解析] 通过反例求解.
狄利克雷函数
显然在定义域范围内有界,但不可积.故命题D不正确,应选D.
要熟练掌握如下常见结论:
(1)可积的充分条件:若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.
若有界函数f(x)在[a,b]上除有限个间断点外连续,则f(x)在[a,b]上可积.
(2)可积的必要条件:若f(x)在[a,b]上可积,则函数f(x)在[a,b]上有界;反之不一定成立.
(3)在某区间上连续的函数,必存在原函数;存在原函数的函数,不一定连续.
3. 设A是任一n阶可逆矩阵(n≥3),k为常数,且k≠0,±1,则(kA
-1)
*等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 本题考查求矩阵的伴随矩阵问题——见到伴随矩阵A
*,就要想到用AA
*=A
*A=|A|E或A
*=|A|A
-1处理.
因矩阵A可逆,故由A
*=|A|A
-1可得
(kA)
*=|kA
-1|(kA
-1)
-1=k
n|A
-1|·
5. 设A为n阶实矩阵,A
T为A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ):Ax=0和(Ⅱ):A
TAx=0,必有______
- A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解.
- B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
- C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.
- D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
A B C D
A
[解析] 若Ax=0,则显然有A
TAx=0,即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解;反过来,若A
TAx=0则有
x
TA
TAx=(Ax)
T(Ax)=0,
从而推出Ax=0.
因为若设Ax=(a
1,a
2,…,a
n)
T,则
于是有
a
1=a
2=…=a
n=0,
即Ax=0.说明(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解.
6. 设随机变量X,Y相互独立,且
,P{Y≤x}=x,0<x≤1.Z=XY的数学期望E(XY)=______.
A.1.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] F
Z(z)=P{Z≤z},
①z<0,F
Z(z)=0;
②z≥1,F
Z(z)=1;
③0≤z<1,
F
Z(z)=P{Z≤z}
=P{X=0}P{Z≤z|X=0}+P{X=1}P{Z≤z|x=1}
7. 以下结论,错误的是______
A.若0<P(B)<1,
则A,B相互独立
B.若A,B满足P(B|A)=1,则P(A-B)=0
C.设A,B,C是三个事件,则(A-B)∪B=A∪B
D.若当事件A,B同时发生时,事件C必发生,则P(C)<P(A)+P(B)-1
A B C D
D
[解析]
对于(A),
即 P(B)-P
2(B)=P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P
2(B).
故P(AB)=P(A)P(B),故(A)正确.
对于(B),
故(B)正确.
对于(C),
(C)正确.
对于(D),
(D)错误,故选(D).
8. 设y=y(x)是方程x
2y+e
2y=1+sin(x+y)确定的隐函数,且y(0)=0,则y"(0)=______
A B C D
B
[解析] 将x
2y+e
2y=1+sin(x+y)看成关于x的恒等式,两端对x求导数得
2xy+x
2y'+e
2y·2y'=cos(x+y)·(1+y') (*)
把x=0,y(0)=0代入上式可得
2y'(0)=1+y'(0)
y'(0)=1.
将(*)看成关于x的恒等式,两端再对x求导数又得
2y+4xy'+x2
y"+e
2y·(2y')
2+e
2y·2y"=-sin(x+y)·(1+y')
2+cos(x+y)·y",
把x=0,y(0)=0,y'(0)=1代入上式可得
4+2y"(0)=y"(0)
y"(0)=-4.
故应选B.
9. 设X
1,X
2,…,X
n,为来自总体X的简单随机样本,总体方差D(X)=σ
2>0.记
,1≤k≤n,则
(1≤s,t≤n)的值等于______
A.
B.
C.σ
2max(s,t).
D.σ
2min(s,t).
A B C D
A
[解析]
若s≥t,则
10. 设F(x)可导,则下述命题不正确的是______
- A.若F(x)为奇函数,则F'(x)必为偶函数.
- B.若F'(x)为偶函数,则F(x)必为奇函数.
- C.若F(x)为偶函数,则F'(x)必为奇函数.
- D.若F'(x)为奇函数,则F(x)必为偶函数.
A B C D
B
[解析] A,C,D都是正确的,证明如下:
A是正确的.设F(x)为奇函数:F(-x)=-F(x),
两边对x求导,得-F'(-x)=-F'(x),即F'(-x)=F'(x).
故知F'(x)是偶函数.
C是正确的,设F(x)为偶函数:F(-x)=F(x),
两边对x求导,得-F'(-x)=F'(x),
所以F'(x)是奇函数.
D是正确的.设F'(x)为奇函数,令f(x)=F'(x),即设f(x)为奇函数:
f(-x)=-f(x),
两边对t从0到x积分,得
左边作积分变量变换,令-t=u,得
右边
所以得到F(-x)=F(x),
即F(x)为偶函数.
B是不正确的,反例:设F'(x)=x
2为偶函数,
未必是奇函数.
二、填空题1.
[解析]
2. 设A,B为3阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ
1=1,λ
2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=______.
18
[解析] 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值.由A~B知A和B有相同特征值,因此λ1=1,λ2=-1也是A的特征值.故A,B的特征值均为λ1=1,λ2=-1.λ3=-2.则有E+2B的特征值为1+2×1=3,1+2×(-1)=-1,1+2×(-2)=-3,从而
|E+2B|=3×(1)×(-3)=9,|A|=λ1λ2λ3=2.
故
|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18.
3. 当x→0时,若有
,则A=______,k=______.
4. 独立投骰子两次,X,Y表示投出的点数,令A={X+Y=10},B={X>Y},则P(A+B)=______.
[解析] P(A)=P{X=4,Y=6}+P{X=5,Y=5}+P{X=6,Y=4}=
.
则
5. 已知曲线y=ax
2与y=lnx正好有2个不同的交点,则常数a的取值范围是______.
[解析] 令f(x)=ax
2-lnx,可知f(x)的定义域为(0,+∞).
若a≤0,则在定义域内,f'(x)<0,f(x)严格单调减少,至多只有—个零点.故以下讨论a>0.
令f'(x)=0,求得定义域内的唯一驻点
.又
,所以
在区间
内,f(x)严格单调减少,在区间
内,f(x)严格单调增加,且
若
,则f(x)无零点或只有1个零点,舍去.
若
,即
,故f(x)在区间
与区间
内正好各有1个零点,共2个零点.所以a的取值范围为
6. 设n维向量α
1,α
2,α
3满足2α
1-α
2+3α
3=0,对于任意的n维向量β,向量组l
1β+α
1,l
2β+α
2,l
3β+α
3都线性相关,则参数l
1,l
2,l
3应满足关系______.
2l1-l2+3l3=0
[解析] 因l1β+α1,l2β+α2,l3β+α3线性相关甘存在不全为零的k1,k2,k3,使得
k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0,
即 (k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0.
因β是任意向量,α1,α2,α3满足2α1-α2+3α3=0,故令2l1-l2+3l3=0时上式成立.故l1,l2,l3应满足2l1-l2+3l3=0.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1. 设随机变量X的概率密度为
求Y=sinX的概率密度.
解:设Y的分布函数为F
Y(y),则
F
Y(y)=P{Y≤y}=P{sinX≤y}=P{{0≤X≤arcsiny}∪{X>π-arcsiny}}
=P{0≤X≤arcsiny}+1-P{X≤π-arcsiny}
=F
X(arcsiny)+1-F
X(π-arcsiny),
所以
2. 设α=(1,2,1)
T,
,γ=(0,0,8)
T,A=αβ
T,B=β
Tα,其中β
T是β的转置,求满足2B
2A
2C=A
4C+B
4C+γ的所有矩阵C.
解:由题设,得
又由于A
2=αβ
Tαβ
T=α(β
Tα)β
T=2A,A
4=8A,代入原方程,得
16AC=8AC+16C+γ,
整理得
8(A-2E)C=γ,
其中E是3阶单位矩阵.令C=(x
1,x
2,x
3)
T,代入上式,得非齐次线性方程组
解其对应的齐次线性方程组,得通解为
η=k(1,2,1)
T(k为任意常数),
显然,非齐次线性方程组的一个特解为
因此所求满足原方程的矩阵为
3. 求积分
.
解:因为
又
所以f(x)=arctane
x+arctane
-x=C.又
,故
[考点] 定积分的计算.
[解析] 用对称区间上定积分的性质求解.
设f(x)连续,则常见的积分等式为
设有二阶矩阵4. A,B是否相似,说明理由;
[解]
λ
1=-1,λ
2=3.
A与对角矩阵
相似,B与对角矩阵
相似,由矩阵相似的传递性,A,B相似.
5. 若相似,求正交矩阵P,使P
-1AP=B.
[解] 当λ=-1时,由(A+E)x=0,
,得特征向量
.
当λ=3时,由(A-3E)x=0,
得特征向量
单位化,得
,得正交矩阵
,且有
同理可得正交矩阵
,且有
于是
6. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,0<a<b,证明:存在ξ,η∈(a,b),使得
2ηf'(ξ)=(b+a)f'(η).
证:只需证明
.
对f(x)及x
2在[a,b]上应用柯西中值定理,得
即
再由拉格朗日中值定理,存在一点ξ∈(a,b),使得
故原等式成立.
[考点] 拉格朗日中值定理及柯西中值定理的应用.
[解析] 利用构造拉格朗日中值定理及柯西中值定理的条件来证明.
在计算机上作大型科学计算,需对经运算后的十进制数x,在其小数点后第6位作四舍五人,得到近似值y,则误差ε=x-y在区间(-0.5×10-5,0.5×10-5)内随机取值.设随机变量ε服从该区间上的均匀分布.记经n次运算的累积误差为7. 试求ε
1+ε
2的分布;
解:(X,Y)的分布密度函数为
则
利用几何概型来解:
设D={(x,y)||x|≤a,|y|≤a},其中a=0.5×10
-5.
当-2a≤z<0时,所求概率为(x,y)点落在下图中有竖条的阴影下三角形区域上的概率为
当0≤z<2a时,则所求概率为(x,y)点落在图中五边形上的概率,故
8. 利用切比雪夫不等式估计,当n=10000时给出|η
n|不超过0.0005的概率的上界;
解:注意E(η
n)=0,由切比雪夫不等式,得
9. 利用中心极限定理,当n=10000时以99.7%以上的把握给出|η
n|的近似估计(估计上界).
注:Φ(x)为标准正态分布,已知Φ(3)=0.99874.
解:ε
j是独立同分布的随机变量,ε
j~U(-0.5×10
-5,0.5×10
-5).
由中心极限定理(林德伯格—勒维定理),当n足够大时
若取k=3.则此概率近似为Φ(3)=0.9987,有
即有99.74%以上的把握断言
当n=10000时,