一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1. 设函数
若f'(x)在x=0处连续,则______.
- A.α-β>1
- B.0<α-β≤1
- C.α-β>2
- D.0<α-β≤2
A B C D
A
[考点] 导函数的连续性.
[解析] 分段函数分界点处左、右导数求解.
因为f'(x)在x=0处连续,则f'(0)=f'
-(0)=f'
+(0)存在,且
.易求得
要使
存在,则当α>1时,f'
+(0)=0且f'
-(0)=0,于是f'(0)存在且
.
当α>1时,
,要使
,即
存在,则当α-β>1时,
,从而
.
因此,f'(x)在x=0处连续
α-β>1.故应选A.
讨论分段函数在分界点处的导数有时也利用以下定理:若f(x)在x
0的某邻域U(x
0)内连续,在
内可导,且极限
存在,则f'(x
0)存在,且
,也就是说只要在所述条件下
存在,则f'(x)不但在x=x
0处存在,而且在x=x
0处连续,这一结论对单侧导数f'
_(x
0)和f'
+(x
0)也成立.
3. 设f(x,y)连续,且f(x,y)=e
x2+y2+xy
xyf(x,y)dxdy,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},则
=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 二重积分与多元函数偏导数.
[解析] 先求f(x,y)的表达式,再求偏导数即可.
解:设
xyf(x,y)dxdy=A,则
解得
,从而
所以
故应选C.
4. 假设(X,Y)为二维随机变量,则下列结论正确的是______
- A.如果(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y一定独立
- B.如果(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y一定不独立
- C.如果(X,Y)不服从二维正态分布,则X与Y一定都不服从正态分布
- D.如果(X,Y)不服从二维正态分布,则X与Y不一定都不服从正态分布
A B C D
D
[解析] 由二维正态分布的性质知,如果(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y独立
X与Y不相关
ρ=0,而二维正态分布中的ρ未必为零,故A,B不正确.
对于(X,Y)不服从二维正态分布的,其边缘分布可以都是正态分布,例如:
(X,Y)不服从二维正态分布,且
即 X~N(0,1).
同理Y~N(0,1),故应选D.
本题考查二维正态分布的性质.
5. 设
则F(x)______
A B C D
A
[解析] 因e
sinxsinx是以2π为周期的周期函数,所以
又e
sinxcos
2x≥0,故选A.
6. 从正态总体X~N(0,σ
2)中抽取简单随机样本X
1,X
2,…,X
n,则可作为参数σ
2的无偏估计量的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因为
所以
为σ
2的无偏估计量,选A.
9. 设函数z=z(x,y)由方程
确定,其中F为可微函数,且F'
2≠0,则
=______.
A B C D
B
[考点] 多元复合函数的求导法则,多元隐函数的求导法则.
[解析] 本题可通过多元隐函数的求导公式计算.
令
,由于
,故
从而
.故选B.
多元抽象隐函数的求导往往涉及多元复合函数的求导法则的使用.
10. 在极坐标系(r,θ)中,圆r=1之外和圆
之内的公共部分D的面积S等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由圆x
2+y
2=1与x
2+y
2=
所围的平面图形是D,如图中的阴影部分所示.从而设x=rcosθ,y=rsinθ,在极坐标系(r,θ)中,D的边界交点的极坐标满足
,即
.区域D被x轴分为上、下对称的两个分区域,故S=
.应选(D).
二、填空题1. 设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且df(x,y)=ye
ydx+x(1+y)e
ydy,f(0,0)=0.则f(x,y)=______.
xyey.
[解析] 由题可知,f'x=yey,f'y=x(1+y)ey,f(x,y)=∫yeydx=xyey+C(y).
从而f'y=xey+xyey+C'(y)=xey+xyey,即C'(y)=0,于是C(y)=C,C为未知常数.又f(0,0)=0,故C=0.即得f(x,y)=xyey.
2. 设
B=(E+A)
-1(E-A),则(E+B)
-1=______.
[解析] E+B=E+(E+A)
-1(E-A)=(E+A)
-1(E+A+E-A)=(E+A)
-12E,
故
3. 设函数z=z(x,y)由方程
确定,则在点P
0(1,1)处
的值为______.
1
[解析] 由方程z+lnz-lnx-y=0,得
又z(1,1)=1,所以在点P
0(1,1)处
4. 设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,E(X
k)=k
2,k=1,2,则E(aX+b)
2=______.
16
[解析]
于是,E(aX+b)
2=a
2E(X
2)+2abE(X)+b
2=16.
本题考查数字特征的求解.
5. 已知
则
-1
[解析] 此积分的计算要用分部积分法,
6. 设随机变量X的分布函数为
则A,B的值依次为______.
1,0
[解析] 由F(x)右连续的性质得
即A+B=1.又
于是,B=0,A=1.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1. 设函数f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f(x)和f''(x)在(-∞,+∞)内有界.证明:f'(x)在(-∞,+∞)内有界.
证明:存在正常数M
0,M
2,使得对
恒有
|f(x)|≤M
0,|f"(x)|≤M
2.
由泰勒公式,有
其中ξ介于x与x+1之间,整理得
所以
故函数f'(x)在(-∞,+∞)内有界.
设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1与X2均服从标准正态分布,X3的概率分布为,Y=X3X1+(1-X3)X2.2. 求二维随机变量(X
1,Y)的分布函数,结果用标准正态分布函数Φ(x)表示.
解:由二维随机变量的分布函数的定义,可得
F(x
1,y)=P{X
1≤x
1,Y≤y}=P{X
1≤x
1,X
3X
1+(1-X
3)X
2≤y}.
因为
,则可将离散型随机变量的不同取值分情况代入,即
F(x
1,y)=P{X
3=0,X
1≤x
1,X
3X
1+(1-X
3)X
2≤y}+
P{X
3=1,X
1≤x
1,X
3X
1+(1-X
3)X
2≤y}
=P{X
3=0,X
1≤x
1,X
2≤y}+P{X
3=1,X
1≤x
1,X
1≤y}.
又因为X
1,X
2,X
3相互独立,故
[解析] 本题也是一个既含有连续型随机变量,又含有离散型随机变量的混合表达式的随机变量分布函数问题,对于求解此类问题的有效方法是:将离散型随机变量的不同取值代入后展开,利用概率的计算公式,获得仅含有连续型随机变量的表达式,再利用连续型随机变量的已知条件求解即可.
3. 证明随机变量Y服从标准正态分布.
证:由于
因此,Y服从标准正态分布.
4. 设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2,求对角阵Λ,与B和Λ相似,并问k为何值时,B为正定阵.
解:
A是实对称阵,故存在正交阵Q,使得
故
当k≠0,k≠-2时,B的特征值全部大于0,这时B为正定阵.
5. 求不定积分∫x
3ln(1+x)dx.
解:
[考点] 幂函数与对数函数(反三角函数)乘积的不定积分求解.
[解析] 用分部积分法求解.
(1)形如∫xnlnmxdx,取u(x)=lnmx,v(x)=xn.
(2)形如∫xnarctanxdx,∫xnarccotxdx,∫xnarcsinxdx,∫xnarccosxdx,取u(x)为反三角函数,v(x)=xn.
6. 设
又f(x)在点x=0处可导,求F(x)=f[φ(x)]的导数.
解:
当x≠0时,用复合函数求导法则求导得
当x=0时(分段点),φ(0)=0,
又f(x)在x=0处可导,于是根据复合函数的求导法则,有
F'(0)=f'(0)·φ'(0)=0.
所以
7. 试确定常数a,b,c,d的值,使曲线y=ax
3+bx
2+cx+d过点(-2,44),在x=-2处有水平切线,且以点(1,-10)为拐点.
解:易求得y'=3ax
2+2bx+c,y"=6ax+2b.根据题意有y(-2)=44,y'(-2)=0,y(1)=-10,y"(1)=0,即
解此方程组得a=1,b=-3,c=-24,d=16.
[考点] 导数的几何意义及拐点的求解.
[解析] 求函数的1、2阶导数,求解斜率和拐点.
拐点是曲线上的连续点,若函数的二阶导数存在,则拐点处的二阶导数为0.